博弈問題

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尼姆博弈

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公平組合博弈

取石子游戲

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 3862 Accepted Submission(s): 2307

Problem Description
1堆石子有n個,兩人輪流取.先取者第1次可以取任意多個，但不能全部取完.以後每次取的石子數不能超過上次取子數的2倍。取完者勝.先取者負輸出”Second win”.先取者勝輸出”First win”.

Input
輸入有多組.每組第1行是2<=n<2^31. n=0退出.

Output
先取者負輸出”Second win”. 先取者勝輸出”First win”.
參看Sample Output.

Sample Input
2
13
10000
0

Sample Output
Second win
Second win
First win

斐波那契博弈這裡需要藉助“Zeckendorf定理”（齊肯多夫定理）：任何正整數可以表示為若干個不連續的Fibonacci數之和。

先看看斐波那契數列的必敗證明：

1、當i=2時，先手只能取1顆，顯然必敗，結論成立。

2、假設當i<=k時，結論成立。

則當i=k+1時，f[i] = f[k]+f[k-1]。

則我們可以把這一堆石子看成兩堆，簡稱k堆和k-1堆。

（一定可以看成兩堆，因為假如先手第一次取的石子數大於或等於f[k-1]，則後手可以直接取完f[k]，因為f[k] < 2*f[k-1]）

對於k-1堆，由假設可知，不論先手怎樣取，後手總能取到最後一顆。下面我們分析一下後手最後取的石子數x的情況。

如果先手第一次取的石子數y>=f[k-1]/3，則這小堆所剩的石子數小於2y，即後手可以直接取完，此時x=f[k-1]-y，則x<=2/3*f[k-1]。

我們來比較一下2/3*f[k-1]與1/2*f[k]的大小。即4*f[k-1]與3*f[k]的大小，由數學歸納法不難得出，後者大。

所以我們得到，x<1/2*f[k]。

即後手取完k-1堆後，先手不能一下取完k堆，所以遊戲規則沒有改變，則由假設可知，對於k堆，後手仍能取到最後一顆，所以後手必勝。

即i=k+1時，結論依然成立。

對於不是FIB數，首先進行分解。

分解的時候，要取儘量大的Fibonacci數。

比如分解85：85在55和89之間，於是可以寫成85=55+30，然後繼續分解30,30在21和34之間，所以可以寫成30=21+9，

依此類推，最後分解成85=55+21+8+1。

則我們可以把n寫成 n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。（a1>a2>……>ap）

我們令先手先取完f[ap]，即最小的這一堆。由於各個f之間不連續，則a(p-1) > ap + 1，則有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即後手只能取f[a(p-1)]這一堆，且不能一次取完。

此時後手相當於面臨這個子游戲（只有f[a(p-1)]這一堆石子，且後手先取）的必敗態，即先手一定可以取到這一堆的最後一顆石子。

同理可知，對於以後的每一堆，先手都可以取到這一堆的最後一顆石子，從而獲得遊戲的勝利。

齊肯拉夫定理程式碼實現

//齊肯多夫定理 程式碼 實現
int largestFib(int n)
{
    if(n==0||n==1)
        return n;
    int a=0;
    int b=1;
    int c=1;
    while(c<=n)
    {
        a=b;
        b=c;
        c=a+b;
    }
    return b;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n>0)
    {
        int tempn=largestFib(n);
        cout<<tempn<<" ";
        n=n-tempn;
    }

}

附本題AC程式碼

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
   int a[50];
   __int64 i;
   long long int n;
   while(1)
   {
       cin>>n;
       if(n==1)
       continue;
       if(n==0)
        break;
       a[0]=1;
       a[1]=1;
       for(i=2;i<46;i++)
       {
           a[i]=a[i-1]+a[i-2];
       }
           for(i=0;i<46;i++)
                if(a[i]==n)
           {
               cout<<"Second win"<<endl;
                 break;
           }
           if(i==46)
            cout<<"First win"<<endl;

   }
    return 0;
}