當且只當n是一個斐波那契數的時候是必敗態。可以寫出幾組資料找規律就可以發現這個規律。

證明如下：

就像“Wythoff博弈”需要“Beatty定理”來幫忙一樣，這裡需要藉助“Zeckendorf定理”（齊肯多夫定理）：任何正整數可以表示為若干個不連續的Fibonacci數之和。


先看看FIB數列的必敗證明：


1、當i=2時，先手只能取1顆，顯然必敗，結論成立。


2、假設當i<=k時，結論成立。


     則當i=k+1時，f[i] = f[k]+f[k-1]。


     則我們可以把這一堆石子看成兩堆，簡稱k堆和k-1堆。


    （一定可以看成兩堆，因為假如先手第一次取的石子數大於或等於f[k-1]，則後手可以直接取完f[k]，因為f[k] < 2*f[k-1]）


     對於k-1堆，由假設可知，不論先手怎樣取，後手總能取到最後一顆。下面我們分析一下後手最後取的石子數x的情況。


     如果先手第一次取的石子數y>=f[k-1]/3，則這小堆所剩的石子數小於2y，即後手可以直接取完，此時x=f[k-1]-y，則x<=2/3*f[k-1]。


     我們來比較一下2/3*f[k-1]與1/2*f[k]的大小。即4*f[k-1]與3*f[k]的大小，由數學歸納法不難得出，後者大。


     所以我們得到，x<1/2*f[k]。


     即後手取完k-1堆後，先手不能一下取完k堆，所以遊戲規則沒有改變，則由假設可知，對於k堆，後手仍能取到最後一顆，所以後手必勝。


     即i=k+1時，結論依然成立。


對於不是FIB數，首先進行分解。


分解的時候，要取儘量大的Fibonacci數。


比如分解85：85在55和89之間，於是可以寫成85=55+30，然後繼續分解30,30在21和34之間，所以可以寫成30=21+9，


依此類推，最後分解成85=55+21+8+1。


則我們可以把n寫成  n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。（a1>a2>……>ap）


我們令先手先取完f[ap]，即最小的這一堆。由於各個f之間不連續，則a(p-1) > ap  + 1，則有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即後手只能取f[a(p-1)]這一堆，且不能一次取完。


此時後手相當於面臨這個子游戲（只有f[a(p-1)]這一堆石子，且後手先取）的必敗態，即先手一定可以取到這一堆的最後一顆石子。


同理可知，對於以後的每一堆，先手都可以取到這一堆的最後一顆石子，從而獲得遊戲的勝利。

程式碼如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <ctype.h>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <algorithm>

using namespace std;
int fib[50];
int main()
{
    int i, n;
    fib[0]=1;
    fib[1]=2;
    for(i=2;i<45;i++)
        fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
    while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n)
    {
        int flag=0;
        for(i=0;i<45;i++)
        {
            if(fib[i]==n)
            {
                flag=1;
                break;
            }
        }
        if(flag)
            puts("Second win");
        else
            puts("First win");
    }
    return 0;
}