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題解

ATP當時考試考這題的時候就寫了個暴力還寫掛了。。。

首先聯想Kruskal的操作過程可以想到，對於一條權值為w的邊(u,v)，如果權值小於它的邊已經聯通了u和v，那麼這條邊就一定不會被加到最小生成樹裡面；如果再加上除了(u,v)以外其它權值等於w的邊就能把u和v聯通，那麼這條邊就可能出現在某棵最小生成樹裡面；否則就說明想要把u和v聯通，這條邊是必須的，也就是它一定出現在所有最小生成樹裡面。

none的情況非常好判，重點就是判後兩種情況。對於at least one的情況來說肯定不能每次列舉某條邊加不加，就要一下全判出來。可以發現那些any的邊，它是小於等於w的所有邊裡面聯通(u,v)的必須邊，去掉這條邊，圖就會不連通。

有沒有想到什麼啊對吧= =沒錯這就是無向圖中的橋邊！每次把和w權值相等的邊加入進去，並且需要注意的是因為前面處理完小於w的邊了以後圖中已經有了一些連通塊，所以加邊的時候不是直接連線u和v，而是連線find(u)和find(v)，即u和v在集合中的代表元素。那麼顯然如果列舉到某條邊的時候它的兩個端點已經在同一個連通塊中了，說明小於它的邊就可以聯通它兩個端點，就判成none就可以了。然後構造出這個圖以後裡面所有的橋邊就是any，剩下的就是at least one啦。

注意的問題是每次都要重新構圖，清陣列的時候需要注意。不能用memset否則會T飛的啦。用一個點清一個點就可以了。

程式碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,tot,cnt,dfc,father[100010],w[100010],low[100010],last[100010],p[100010];
int next[200010],a[200010],ans[100010],rec[100010],id[100010];
bool vis[100010];
struct edge{
    int x,y,w,id;
}e[100010];
int comp(edge a,edge b){return a.w<b.w;}
void
 
 add(int x,int y,int i){
    tot++;a[tot]=y;next[tot]=p[x];id[tot]=i;p[x]=tot;
}
int find(int x){
    if (father[x]==x) return father[x];
    father[x]=find(father[x]);
    return father[x];
}
bool same(int i,int j){
    if (i%2==0) return i-1==j;
    else return i+1==j;
}
void tarjan(int u){
    w[u]=low[u]=++dfc;vis[u]=true;
    for (int i=p[u];i!=0;i=next[i])
      if (vis[a[i]]==false){
          last[a[i]]=i;
          tarjan(a[i]);
          low[u]=min(low[u],low[a[i]]);
      }else if (!same(last[u],i)) low[u]=min(low[u],w[a[i]]);
}//注意在判是不是同一條邊的時候，無向邊加的正反邊要算同一條
void check(){
    for (int i=1;i<=cnt;i++)
      if (w[rec[i]]==0)
        tarjan(rec[i]);
    for (int i=1;i<=cnt;i++){
        int u=rec[i];
        if (low[u]==w[u])
          ans[id[last[u]]]=2;
    }
    for (int i=1;i<=cnt;i++)
      for (int j=p[rec[i]];j!=0;j=next[j])
        if (ans[id[j]]==0) ans[id[j]]=1;
}
int main()
{
    freopen("mst.in","r",stdin);
    freopen("mst.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].w);
        e[i].id=i;
    }
    sort(e+1,e+m+1,comp);
    memset(w,-1,sizeof(w));
    for (int i=1;i<=n;i++) father[i]=i;
    for (int i=1;i<=m;){
        int tail=i;tot=cnt=dfc=0;
        while (e[tail].w==e[i].w){
            int r1,r2;
            r1=find(e[tail].x);r2=find(e[tail].y);
            if (r1!=r2){            
                if (w[r1]!=0){//注意rec和p都只能初始化一次，尤其是p
                    rec[++cnt]=r1;p[r1]=0;
                }
                if (w[r2]!=0){
                    rec[++cnt]=r2;p[r2]=0;
                }
                w[r1]=w[r2]=0;
                low[r1]=low[r2]=last[r1]=last[r2]=0;
                vis[r1]=vis[r2]=false;
                add(r1,r2,e[tail].id);add(r2,r1,e[tail].id);
            }//加邊
            tail++;
        }
        check();
        for (int j=i;j<tail;j++){
            int r1,r2;//把處理完的邊加到並查集裡
            r1=find(e[j].x);r2=find(e[j].y);
            if (r1!=r2) father[r2]=r1;
        }
        i=tail;
    }
    for (int i=1;i<=m;i++)
      if (ans[i]==0) printf("none\n");
      else if (ans[i]==1) printf("at least one\n");
      else printf("any\n");
    return 0;
}