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BZOJ 2467 中山市選2010 生成樹 組合數學

題目大意:給定一個圖,圖的中心是一個n個點的多邊形,每條邊都外接一個五邊形,求生成樹個數

Matrix Tree定理?不會!

觀察這個圖

5n條邊 4n個點
每個五邊形都是一個環 必須拆掉一條邊
拆掉之後發現4n個點 4n條邊 是一個基環樹


基環樹的環上的邊由中心多邊形被拆掉的邊所在的五邊形的剩餘邊與中心多邊形未被拆掉的邊構成
容易發現這個環上任意拆掉一條邊都會導致某個五邊形被拆掉兩條邊 且一條邊在中心多邊形上
於是可知 這個圖成為一棵樹當且僅當一個五邊形被拆掉兩條邊 剩餘五邊形被拆掉一條邊 且被拆掉兩條邊的五邊形拆掉的其中一條邊在中心多邊形上
拆掉兩條邊的五邊形有n個可以選 第一條邊拆掉中心多邊形上的 第二條邊有4條可以選
其餘的五邊形每個可以拆掉一條邊 方案數5^(n-1)
故最終方案數為4n*5^(n-1)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MOD 2007
using namespace std;
int Quick_Power(int x,int y)
{
	int re=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)re*=x,re%=MOD;
		x*=x,x%=MOD;
		y>>=1;
	}
	return re;
}
int main()
{
	int n,T;
	for(cin>>T;T;T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		printf("%d\n", 4*n%MOD*Quick_Power(5,n-1)%MOD );
	}
}


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