匈牙利演算法應用於二分圖（即可以分為兩大部分，且個部分內不連線的圖）匹配的問題，它的時間複雜度為O（nm）。它的基本原理是增廣路。

它的用途主要有三：1、單純二分圖匹配；2、最小點覆蓋；3、最大獨立集。下面，我將一一介紹。

一、單純二分圖匹配

例題1：

有n只公牛和m只母牛，然後每隻公牛都可以和幾隻的母牛配對。在每隻公牛隻能配對一隻母牛的情況下，求能為牛們配對最多多少對？

思路：公牛是二分圖的一個集合，母牛也是。接著公牛逐一詢問母牛，會出現兩種情況。1、如果母牛未被匹配，公牛匹配它；2、如果母牛已被匹配，詢問母牛的原配公牛能否換另一頭母牛匹配。若行，則該公牛可以獲得此母牛；反之，該公牛無法得到該母牛。如果該失配公牛問遍了所有母牛，仍然不能找到合適的配偶，則該公牛匹配失敗（ans不能+1）。

程式碼：

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

int n,m,ans;
int match[210];//母牛i的配偶是公牛match[i]
bool chw[210];//在此趟詢問中，母牛i是否被詢問過
bool mp[210][210];//公牛i與母牛j是否有關係

bool find_ans(int x)
{
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(mp[x][i]==true&&chw[i]==true)
		{
			chw[i]=false;
			if(match[i]==0||find_ans(match[i])==true)
			//母牛沒有配偶||匹配該母牛的公牛能否換一頭母牛匹配 
			{
				match[i]=x;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}

int main()
{
	while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
	{
		memset(mp,false,sizeof(mp));
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			int k,x;
			scanf("%d",&k);
			for(int j=1;j<=k;j++)
			{
				scanf("%d",&x);
				mp[i][x]=true;
			}
		}
		ans=0;
		memset(match,0,sizeof(match));
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			memset(chw,true,sizeof(chw));
			if(find_ans(i)==true) ans++;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}
 

解題關鍵：構造二分匹配圖，找到可連線的線的條件（mp[ ][ ]==true?）。

二、最小點覆蓋

一般考場上的題目極少是純匈牙利演算法，多數會蓋上“最小的覆蓋”的薄紗。

對於求最小點覆蓋的題，我們要運用結論：二分圖中 最小點覆蓋數 = 最大匹配數 ，因此求最小點覆蓋的覆蓋的題轉化為了求最大匹配數的題。

例題2：（poj 1325）

有兩部機器A和B。A機器有n種工作模式0，1，2，3…… n-1 總共n種；B機器有m中工作模式0，1，2，3…… m-1 總共m種。有k個任務，每個任務可以在A機器的某個模式或者B機器的某個模式中完成。A和B機器開始時都預設在0模式，要選擇其他模式就要重啟一次。求完成k個任務至少需要重啟多少次機器。

思路：構圖：X集合表示A機器的模式編號，Y集合表示B機器的模式編號，如果兩個模式能完成的任務相同，則給它們連邊，也就是說，任務用邊來表示。

例題3：（poj 3692）

G個女孩，B個男孩，女孩之間相互認識，男孩之間相互認識，某些男孩同女孩之間相互認識，求最大的相互認識的集合的人數。

思路：該題棘手於“女孩之間相互認識，男孩之間相互認識”，因為如果就此構圖，會出現G集合和B集合內相互連邊，不符合二分圖的定義，因此，我們得另闢新路來構圖。構圖：把沒有關係的兩點連線，反向建圖（即建補圖）。

程式碼：

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

int g,b,m,ans;
int match[210];
bool mp[210][210];//mp[i][j]==true時，表示i女生與j男生互不認識
bool chw[210];

bool find_ans(int x)
{
	for(int i=1;i<=b;i++)
		if(mp[x][i]==true&&chw[i]==true)
		{
			chw[i]=false;
			if(match[i]==0||find_ans(match[i])==true)
			{
				match[i]=x;
				return true;
			}
		}
	return false;
}

int main()
{
	int Case=0;
	while(scanf("%d%d%d",&g,&b,&m)&&g!=0&&b!=0&&m!=0)
	{
		Case++;
		memset(mp,true,sizeof(mp));//互不認識 
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			int x,y;
			scanf("%d%d",&x,&y);
			mp[x][y]=false;//他倆認識 
		}
		
		ans=0;
		memset(match,0,sizeof(match));
		for(int i=1;i<=g;i++)
		{
			memset(chw,true,sizeof(chw));
			if(find_ans(i)==true) ans++;//統計不認識的人數 
		}
		printf("Case %d: %d\n",Case,g+b-ans);//輸出 總人數-不認識人數 
	}
	return 0;
}

三、最大獨立集

有關最大獨立集的題，我們如果利用結論：最大獨立集 點數= 總點數 - 最小點覆蓋 = 總點數 - 最大匹配數，就可以用匈牙利演算法輕鬆求解。若要求獨立集的數量，可以通過強聯通來求。

如 例題3，它在求“最大的相互認識的集合的人數”其實本質就是求最大獨立集點數，所以它的答案（最大獨立集點數）= 總人數（總點數）- 不認識人數（最大匹配數）。

例題4：（poj 1466）

一些女生與男生有浪漫關係，求一個集合中的最大人數，滿足這個集合中兩兩的人不能配對。其中男生與男生間和女神與女生間本就有有浪漫關係。

思路：構圖：把X集合的人複製到Y集合，如果兩個人有浪漫關係，則給他們連邊，最後通過 最大獨立集點數=總點數-最大匹配數 得到答案，但需注意，此圖中的點相當於兩個X集合，所以得到的最大匹配數要除以2。

文章最後，介紹關於匈牙利演算法的一種簡單的優化方法：建鄰接表。以節省不必要的重複判斷，這樣可以大大減少時間，但空間可能會有改變，碼量要大些。