1.理論

表達成二叉樹形式如下

上述的算術表示式就是上述的二叉樹中序遍歷的結果。下面我們看看實際從左到右的計算過程：

先計算2*3再計算1-2*3再計算2/3最後計算1+2*3-2/3

即按照後序遍歷，只需要一直遍歷，遇到算符時就計算即可

顯然我們想到只要把算術表示式轉換成後序表示式，然後遍歷求值即可，這樣算術表示式求值即轉換成求後序表示式。

觀察二叉樹發現離最深層的數字越近的算符的優先順序越高，相同的或相同級別算符越先出現離數字越近，每一個算符父節點必然優先順序低於或等於子節點的算符優先順序，同一算符子節點下的每個算符右子節點優先順序必然大於算符左子結點

那麼求後序表示式的過程如下:

(1)首先，需要分配1個棧和1個線性表，棧s用於臨時儲存運算子，此運算子在棧內遵循越往棧頂優先順序越高的原則；線性表l用於儲存轉換完成的後序表示式(逆波蘭式)

(2)從中綴式的算術表示式字串左端開始逐個讀取字元x，逐序進行如下步驟：

1.若x是運算元，則分析出完整的運算數，將x直接插入線性表l末端；

2.若x是運算子，則分情況討論：

a.若x是'('，則直接壓入棧s；

b.若x是')'，則將距離棧s棧頂的最近的'('之間的運算子，逐個出棧，插入線性表l末端，此時拋棄'('；

c.若x是除'('和')'外的運算子，則再分如下情況討論：

若當前棧s的棧頂元素為'('，則將x直接壓入棧s；

若當前棧s的棧頂元素不為'('，則將x與棧s的棧頂元素比較：

棧s棧頂運算子優先順序小於x的優先順序，則將x直接壓入棧s；

否者，將棧s的棧頂運算子彈出，插入線性表l末端，直到棧s的棧頂運算子優先級別低於（不包括等於）x的優先順序，或輸入的運算子為'('，此時再則將x壓入棧s。

注意這裡的算符優先順序就是指實際計算過程的算符優先順序:+、-<*、/<(、)

由後序表示式求算術表示式值的過程就很簡單了，如下：

構建一個用於儲存運算元的臨時棧s

從前往後遍歷儲存有後序表示式的線性表，遇到運算元則壓入棧s,遇到運算子則s彈出兩個運算元，用運算子計算結果再壓入s,如此迴圈直到計算完畢，最後棧中剩餘一個元素即為最終結果。

要注意算術表示式非法的判斷：

1.輸入的只能為數字和算符

2.遍歷完線性表計算後棧中只剩下一個元素

2.實際程式

算符優先順序比較

/**
 *功能:	判斷兩個操作符的優先順序
 *引數:	operator1--操作符1
 *		operator2--操作符2
 *返回:	操作符1優先順序大於操作符2	--LEVEL_BIGGER
 *		操作符1優先順序小於操作符2	--LEVEL_SMALLER
 *		操作符1優先順序等於操作符2	--LEVEL_SAME
 *		操作符1操作符2對比不合法	--LEVEL_INVALID
 *其他:	2014/04/18 By Jim Wen Ver1.0
 *說明:	這裡'+'和'-'，'*'和'/'在實際四則運算時的優先順序
 *		是相同的,所以這裡的優先順序判定時設定兩個操作符級別
 *		列表,一個操作符列表是把另一個操作符級別列表中的相
 *		同級別的操作符的順序做了顛倒
**/
LEVEL_TYPE CompareLevel(char operator1, char operator2)
{
	char	levelTable1[] = {'+', '-', '*', '/', '(', ')'};
	char	levelTable2[] = {'-', '+', '/', '*', '(', ')'};
	int		nTable1Index1, nTable1Index2;
	int		nTable2Index1, nTable2Index2;

	//判斷兩個操作符在兩個優先順序表中的位置
	nTable1Index1 = nTable1Index2 = -1;
	nTable2Index1 = nTable2Index2 = -1;

	while (levelTable1[++nTable1Index1] != operator1);
	while (levelTable1[++nTable1Index2] != operator2);
	while (levelTable2[++nTable2Index1] != operator1);
	while (levelTable2[++nTable2Index2] != operator2);

	//判斷兩個操作符的優先順序關係
	if (nTable1Index1-nTable1Index2<0 && nTable2Index1-nTable2Index2<0)
	{
		return LEVEL_SMALLER;
	}
	else if(nTable1Index1-nTable1Index2>0 && nTable2Index1-nTable2Index2>0)
	{
		return LEVEL_BIGGER;
	}
	else
	{
		return LEVEL_SAME;
	}
}

中序表示式轉換成後序表示式

/**
 *功能:	將中序表示式轉換為後序表示式(逆波蘭式)
 *引數:	pExpression		--字串形式的表示式
 *		pPostArray		--由前到後儲存後序表示式的線性表
 *返回:	表示式不合法		--假(轉換不成功)
 *		表示式合法		--真(轉換成功)
 *其他:	2014/04/18 By Jim Wen Ver1.0
**/
JWArray_BOOL MidToPost(char *pExpression, JWArray *pPostArray)
{
	JWArray			*pStackOperator;
	char			*pCur;
	JWArrayElem		eTop;
	JWArray_BOOL	bResult;

	pCur	= pExpression;
	bResult	= JWARRAY_TRUE;

	//建立算符棧
	pStackOperator	= JWArrayCreate(10, 10);

	//遍歷算術表示式字串
	while(pCur[0] != '\0')
	{
		if (INVALID_TYPE == JudgeType(pCur[0]))//輸入不合法
		{
			bResult	= JWARRAY_FALSE;
			break;
		}
		else if (NUMBER == JudgeType(pCur[0]))//運算元直接輸入到線性表
		{
			eTop.elemType			= NUMBER;
			eTop.elemValue.dbNum	= atof(pCur);
			JWArrayPush(pPostArray, eTop);
		}
		else//輸入算符
		{
			if (pCur[0] == '(')//輸入'('
			{
				eTop.elemType				= OPERATOR;
				eTop.elemValue.cOperator	= pCur[0];
				JWArrayPush(pStackOperator, eTop);
			}
			else if (pCur[0] == ')')//輸入')'
			{
				//一直出棧壓入線性表直到'('
				while (JWARRAY_TRUE == JWArrayGetTop(pStackOperator, &eTop) &&
					   eTop.elemValue.cOperator != '(')
				{
					JWArrayPop(pStackOperator, &eTop);
					JWArrayPush(pPostArray, eTop);
				}

				if (JWARRAY_TRUE == JWArrayGetTop(pStackOperator, &eTop) &&
					eTop.elemValue.cOperator == '(')
				{
					JWArrayPop(pStackOperator, NULL);//直接彈出'('
				}
				else
				{
					bResult	= JWARRAY_FALSE;
					break;
				}
			}
			else if (JWARRAY_TRUE == JWArrayGetTop(pStackOperator, &eTop) &&
					 eTop.elemValue.cOperator == '(')//棧頂元素為'('則當前的算符壓入算符棧
			{
				eTop.elemType				= OPERATOR;
				eTop.elemValue.cOperator	= pCur[0];
				JWArrayPush(pStackOperator, eTop);
			}
			else if (JWARRAY_FALSE == JWArrayGetTop(pStackOperator, &eTop) ||
					 LEVEL_SMALLER == CompareLevel(eTop.elemValue.cOperator, pCur[0]))
			{
				//棧為空或棧頂算符的優先順序小於當前輸入的算符(此時當前算符不等於())，則將當前的算符壓入算符棧
				eTop.elemType				= OPERATOR;
				eTop.elemValue.cOperator	= pCur[0];
				JWArrayPush(pStackOperator, eTop);
			}
			else
			{
				//對於棧不為空且棧頂算符的優先順序大於等於當前輸入的算符(此時當前算符不等於()),
				//一直出棧壓入線性表直到不滿足這個條件
				while(JWARRAY_TRUE  == JWArrayGetTop(pStackOperator, &eTop) &&
					  eTop.elemValue.cOperator != '(' &&
					  LEVEL_SMALLER != CompareLevel(eTop.elemValue.cOperator, pCur[0]))
				{
					JWArrayPop(pStackOperator, &eTop);
					JWArrayPush(pPostArray, eTop);
				}

				//當前算符入棧
				eTop.elemType				= OPERATOR;
				eTop.elemValue.cOperator	= pCur[0];
				JWArrayPush(pStackOperator, eTop);
			}
		}

		MoveToNext(&pCur);
	}

	//將剩下的算符棧中全部出棧加入到線性表中
	if (bResult	= JWARRAY_TRUE)
	{
		while (JWARRAY_FALSE == JWArrayIsEmpty(pStackOperator))
		{
			JWArrayPop(pStackOperator, &eTop);
			JWArrayPush(pPostArray, eTop);
		}
	}

	//銷燬算符棧
	JWArrayDestroy(pStackOperator);

	return bResult;
}

後序表示式求值

/**
 *功能:	輸入字串形式的表示式，計算表示式結果
 *引數:	pExpression		--字串形式的表示式
 *		pResult			--表示式求解結果
 *返回:	計算成功			--真(表示式合法)
 *		計算不成功		--假
 *其他:	2014/04/18 By Jim Wen Ver1.0
**/
JWArray_BOOL CalcExpression(char *pExpression, double *pResult)
{
	JWArray			*pPostArray, *pStackNum;
	JWArrayElem		eNum1, eNum2, eResult;
	double			dbResult;
	JWArray_BOOL	bResult;
	int				i;

	bResult	= JWARRAY_TRUE;

	//建立線性表和運算元棧
	pPostArray		= JWArrayCreate(10, 10);
	pStackNum		= JWArrayCreate(10, 10);

	//得到後序表示式
	if(JWARRAY_TRUE == MidToPost(pExpression, pPostArray))
	{
		//遍歷線性表
		for (i = 0; i < pPostArray->nLength; i++)
		{
			if (pPostArray->pElem[i].elemType == NUMBER)
			{
				JWArrayPush(pStackNum, pPostArray->pElem[i]);
			}
			else
			{
				if (JWARRAY_FALSE == JWArrayPop(pStackNum, &eNum2) ||
					JWARRAY_FALSE == JWArrayPop(pStackNum, &eNum1))
				{
					//出棧錯誤(輸入不合法時)
					bResult	= JWARRAY_FALSE;					
					break;
				}
				else
				{
					if (JWARRAY_FALSE == Calc(eNum1.elemValue.dbNum,
											  pPostArray->pElem[i].elemValue.cOperator,
											  eNum2.elemValue.dbNum,
											  &dbResult))
					{
						//計算錯誤(輸入不合法時)
						bResult	= JWARRAY_FALSE;					
						break;
					}
					else
					{
						eResult.elemType = NUMBER;
						eResult.elemValue.dbNum = dbResult;
						JWArrayPush(pStackNum, eResult);
					}
				}
			}
		}
	}
	else
	{
		bResult	= JWARRAY_FALSE;
	}

	if (bResult	== JWARRAY_TRUE)
	{
		//如果運算元棧長度不等於1則運算表示式不合法
		if (JWArrayGetLength(pStackNum) != 1)
		{
			bResult	= JWARRAY_FALSE;
		}
		else
		{
			JWArrayGetTop(pStackNum, &eResult);
			*pResult = eResult.elemValue.dbNum;
		}
	}

	//銷燬運算子棧和運算元棧
	JWArrayDestroy(pPostArray);
	JWArrayDestroy(pStackNum);

	return bResult;
}

3.程式說明

1.程式只是對常見的非法輸入做了校驗，可能有些非法輸入還是沒有考慮到

2.使用算符優先法需要最後一次性來完成出棧入棧操作最後完成整個計算，計算量比較大時會比較耗時；使用後序表示式法可以在輸入的過程中將中序表示式轉換成後序表示式，最後求解時只需要遍歷線性表即可，耗時相對較小。

3.執行結果如下

完整程式下載連結