字串匹配演算法(二)窮舉與自動機
Rob Pike, 最偉大的C 語言大師之一, 在《Notes on C Programming》中闡述了一個原則:花哨的演算法比簡單演算法更容易出bug、更難實現,儘量使用簡單的演算法配合簡單的資料結構。而Ken Thompson——Unix 最初版本的設計者和實現者,禪宗偈語般地對Pike 的這一原則作了強調: 拿不準就窮舉(When in doubt , use brute force)。 而對於裝13愛好者來說,更是自豪的稱其使用的是BF演算法。窮舉法用在字串匹配上,簡單的描述就是,檢查文字從0到n-m的每一個位置,看看從這個位置開始是否與模式匹配。這種方法還是有一些優點的,如:不需要預處理過程,需要的額外空間為常數,每一趟比較時可以以任意順序進行。
儘管它的時間複雜度為O(mn),例如在文字"aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa"中尋找"aaaaab"時,就完全體現出來了。但是演算法的期望值卻是2n,這表明該演算法在實際應用中效率不低。C程式碼如下:
- void
- int i, j;
- /* Searching */
- for (j = 0; j <= n - m; ++j) {
- for (i = 0; i < m && x[i] == y[i + j]; ++i);
- if (i >= m)
- OUTPUT(j);
- }
- }
- #define EOS '/0'
- void BF(char *x, int m, char *y,
- char *yb;
- /* Searching */
- for (yb = y; *y != EOS; ++y)
- if (memcmp(x, y, m) == 0)
- OUTPUT(y - yb);
- }
- #define ASIZE 256
- int preAut(constchar *x, int m, int* aut) {
- int i, state, target, old;
- for (state = 0, i = 0; i < m; ++i) {
- target = i + 1;
- old = aut[state * ASIZE + x[i]];
- aut[state * ASIZE + x[i]] = target;
- memcpy(aut + target * ASIZE, aut + old * ASIZE, ASIZE*sizeof(int));
- state = target;
- }
- return state;
- }
- void AUT(constchar *x, int m, constchar *y, int n) {
- int j, state;
- /* Preprocessing */
- int *aut = (int*)calloc((m+1)*ASIZE, sizeof(int));
- int Terminal = preAut(x, m, aut);
- /* Searching */
- for (state = 0, j = 0; j < n; ++j) {
- state = aut[state*ASIZE+y[j]];
- if (state == Terminal)
- OUTPUT(j - m + 1);
- }
- }
從程式碼上我們很容易看出,自動機的構造需要時間是O(mσ),空間也是O(mσ)(嚴格來說這份程式碼使用了O((m+1)σ)),但是一旦構造完畢,接下來匹配的時間則是O(n)。匹配的過程前面已經說了,太簡單了沒什麼好說的,這裡就解釋一下構造過程吧!我們構造的目標是對應模式長度,構造出同樣多的狀態,用0表示初始狀態,然後第一個字元用狀態1表示,第二個用狀態2表示,依次類推,直到最後一個字元,用m表示,也是最終狀態。一開始,陣列全都置0,,這個時候的自動機遇到任何字元都轉到初始狀態。然後給它看模式的第一個字元,假設這是'a'吧,告訴它,狀態0遇到'a'應該到一個新的狀態——狀態1,所以把第0行的第'a'列修改為1。而這個時候狀態1還是空白的,怎麼辦呢?這時候狀態0就想呀,在我被告知遇到'a'要去狀態1之前,我原本遇到'a'都要去狀態0的,也就是修改之前第'a'列所指的那個狀態,稱為old狀態吧;而現在我遇到'a'卻要去一個新的狀態,既然以前old狀態能處理遇到'a'之後的事情,那麼我讓新的狀態像old狀態一樣就好了。於是狀態0把old狀態拷貝到狀態1。現在輪到狀態1了,給它看第二個字元,它也如法炮製,指向了狀態2,又把old狀態拷貝給了狀態2。於是,狀態機就在這種代代傳承的過程中構造完畢了。雖然理論上自動機是最完美的匹配方式,但是由於預處理的消耗過大,實踐中,主要還是用於正則表示式。結語:窮舉法與自動機各自走了兩個極端,因此都沒能達到綜合性能的最佳,本文之後介紹的演算法,可以看成是在窮舉和自動機兩者之間取捨權衡的結果。
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