卡爾曼濾波和維納濾波
--總覺得網上其他部落格上寫的都不太適合自己理解，百般翻閱書籍理解了一下，供自己日後複習之用。
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- 用過去的觀測值來估計當前或者將來的訊號稱為預測
- 用當前和過去的觀測值來估計當前訊號稱為濾波
- 用過去的觀測值估計過去的訊號成為平滑或內插
維納濾波
1.要求
- 輸入過程廣義平穩
- 輸入過程的統計特性已知
2.效果
- 當訊號和干擾以及隨機噪聲同時輸入該濾波器時，在輸出端將訊號儘可能精確表現出來
- 維納濾波根據全部過去觀測值和當前觀測值來估計訊號的當前值，解形式是傳遞函式或單位脈衝響應，說白了就是一個IIR無限單位脈衝濾波器
3.原理
定義誤差為觀測值減去估計值
e(n)=s(n)−s^(n) 目標函式為最小均方誤差
minE[e2(n)]=minE[(s(n)−s^(n))2] 估計值計算如下
s^(n)=x(n)∗h(n)=∑m=−∞+∞h(m)x(n−m) 最小均方誤差可表示為
E[e2(n)]=E[(s(n)−s^(n))2]=E[(s(n)−∑m=0+∞h(m)x(n−m))2] 對最小均方誤差求對衝擊響應的偏導並使其為零得到維納霍夫方程
∂E[e2(n)∂h(m)=2E[(s(n)−∑m=0+∞h(m)x(n−m))x(n−j)],j=0,1,2,... 此時求得的
h(m) 為hop ，並有t(m)
Rxs(j)=E[x(n−j)s(n)]
Rxx(j−m)=E[x(n−m)x(n−j)] 維納霍夫方程方程可化簡為
Rxs(j)=∑m=0+∞hopt(m)Rxx(j−m),j=0,1,2,... 將方程展開我們可以得到更直觀的方程組如下
j=0Rxs(0)=h(0)Rxx(0)+h(1)Rxx(−1)+...+h(N−1)Rxx(1−N)
j=1Rxs(1)=h(0)Rxx(1)+h(1)Rxx(0)+...+h(N−1)Rxx(2−N)
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