0.  前言

一個字串"BBCABCDABABCDABCDABDE"中是否包含另一個字串"ABCDABD"？ KMP就是最常用的字串匹配演算法之一。KMP有著優秀的時間複雜度O(m+n)，網上有很多KMP演算法的解釋，但讀起來都很費勁。直到讀到Jake Boxer的文章，我才真正理解這種演算法。下面我用自己的語言，試圖寫一篇比較好懂的KMP演算法解釋。

1.  演算法過程解釋

首先，字串"BBCABCDAB ABCDABCDABDE"的第一個字元與搜尋詞"ABCDABD"的第一個字元，進行比較。因為B與A不匹配，所以搜尋詞後移一位。

就這樣，直到字串有一個字元，與搜尋詞的第一個字元相同為止。

接著比較字串和搜尋詞的下一個字元，還是相同。

直到字串有一個字元，與搜尋詞對應的字元不相同為止。

這時，最自然的反應是，將搜尋詞整體後移一位，即從上圖B處再從頭逐個比較。這樣做雖然可行，但是效率很差，因為你要把搜尋的初始位置移到已經比較過的位置，重比一遍。

一個基本事實是，當空格與D不匹配時，你其實知道前面六個字元是"ABCDAB"。KMP演算法的想法是，此時不只移動一位，移動數是已經比較的字元數 - 最後一個匹配字元所對應的部分匹配值，這個部分匹配值實質上就是字串頭部和尾部重複部分的最大長度。因此就有了部分匹配值陣列：

已知空格與D不匹配時，前面六個字元"ABCDAB"是匹配的。查表可知，最後一個匹配字元B對應的"部分匹配值"為2，因此向後移動的位數為已匹配的字元數減去對應的部分匹配值，即

因為空格與Ｃ不匹配，搜尋詞還要繼續往後移。這時已匹配的字元數為2（"AB"），最後一個匹配字元B對應的"部分匹配值"為0。所以，移動位數為 2，於是將搜尋詞向後移2位。

因為空格與A不匹配，繼續後移一位。

逐位比較，直到發現C與D不匹配。於是，移動位數為 6 - 2，繼續將搜尋詞向後移動4位。

逐位比較，直到搜尋詞的最後一位，發現完全匹配，於是搜尋完成。如果需要找出全部的匹配，移動位數為7 - 0，再將搜尋詞向後移動7位，剩下的操作就重複了。

2. 部分匹配值陣列的生成

首先，要了解兩個概念：字首和字尾。

"字首"指除了最後一個字元以外，一個字串的全部頭部組合；

"字尾"指除了第一個字元以外，一個字串的全部尾部組合。

"部分匹配值"就是"字首"和"字尾"的最長的共有元素的長度。以"ABCDABD"為例：

//"A"的字首和字尾都為空集，共有元素的長度為0；
//"AB"的字首為[A]，字尾為[B]，共有元素的長度為0；
//"ABC"的字首為[A, AB]，字尾為[BC, C]，共有元素的長度0；
//"ABCD"的字首為[A, AB, ABC]，字尾為[BCD, CD, D]，共有元素的長度為0；
//"ABCDA"的字首為[A, AB, ABC, ABCD]，字尾為[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素為"A"，長度為1；
//"ABCDAB"的字首為[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，字尾為[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素為"AB"，長度為2；
//"ABCDABD"的字首為[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，字尾為[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的長度為0。

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