今天在刷leetcode時遇到了一道可以使用Binary Indexed Tree的題，以前未接觸過，記下來以便以後複習

Binary Indexed Tree(樹狀陣列)是一種樹型資料結構，用於動態維護一個序列的字首和。在實踐中，它幾乎總是用陣列來實現；另外，由於程式碼易於記憶，它的樹型結構很容易被忽略掉。它的中文名稱“樹狀陣列”很可能是因為以上兩個特點得來。

低位（LowBit）

LowBit，即2進位制數中從最低位開始連續0的位數的關於2的冪，其值LowBit(x)=x∧-x（x&-x，x and -x）。也就是上文所說的2^k

LowBit(x)顯然就是not x中最低的是0的那一位，(not x)+1的那一位則會變成1，其更低的位全部變成0，而更高的位不變。由於更高的位就是原數取反，和原數求and的值為0，最低位就是唯一的是1的位了。所以LowBit(x)=x and((not x)+1)。 同時not x=-x-1，所以LowBit(x)=x and (-x)。

上圖就是一個長度為16的陣列的BIT，index(16)就表示落在16以內的個數，同時index(16)=sum(num[1]+num[2]+...+num[16])=index(8)+index(12)+index(14)+num[16]

即用index[i]表示從資料陣列num中某一處一直到num[i]共2^k個元素的總和

讀取累計的頻率和 如果我們需要讀取整數idx的頻率累計和，我們可以讓sum加上tree[idx]的值，然後讓idx減去最有一個1（我們也可以說移走最後的1，使最後的1變為0），然後重複上述過程直至idx為0.我們可以使用下面這段程式碼（C++）。

int read(int idx){
	int sum = 0;
	while (idx > 0){
		sum += tree[idx];
		idx -= (idx & -idx);
	}
	return sum;
}
 

舉例： idx=13，sum=0：

iteration	idx	position of the last digit	idx & -idx	sum
1	13 = 1101	0	1 (2 ^0)	3
2	12 = 1100	2	4 (2 ^2)	14
3	8 = 1000	3	8 (2 ^3)	26
4	0 = 0	---	---	---

image 1.5 箭頭指示了在遍歷過程中使用的資料.

改變一些位置的頻率並更新tree

當改變某些位置的頻率時，所有tree中負責該位置的都需要更新。在讀取idx的累計和時我們移走idx最後的1並且迴圈繼續。修改tree中的一些值val時，我們需要增加當前idx的tree值tree[idx]，增加idx最後一位的1（例如idx為6，該值增加了val，當tree[6]增加了val後。6的最後等於1的一位是2，所以6+2=8，需要繼續修改tree[8]的值）並且迴圈繼續之前的過程，只要idx小於MaxVal.C++寫的函式如下

void update(int idx ,int val){
	while (idx <= MaxVal){
		tree[idx] += val;
		idx += (idx & -idx);
	}
}
 

例如idx=5：

iteration	idx	position of the last digit	idx & -idx
1	5 = 101	0	1 (2 ^0)
2	6 = 110	1	2 (2 ^1)
3	8 = 1000	3	8 (2 ^3)
4	16 = 10000	4	16 (2 ^4)
5	32 = 100000	---	---

與普通陣列相比在查詢時時間複雜度變成logn，但增加了插入花銷(普通陣列插入複雜度為O(1)，BIT為O(logn))

題目為找出陣列中每個數字後面比這個數小的數的個數

我們可以在將原陣列排序後把問題變成每個數的索引在BIT中有多少比他小的索引，從左向右進行掃描，每掃描完成一個將其在BIT中的佔位從BIT中減去，即可使用nlogn的複雜度完成任務。

題目要求求一個區間內數值的總和，是BIT的長項之一，直接構建BIT，將陣列放到相應的索引內，區間值就是大索引的和減去小索引的和

307程式碼

相關連結：http://www.nocow.cn/index.php/%E6%A0%91%E7%8A%B6%E6%95%B0%E7%BB%84

    http://www.xuebuyuan.com/1396639.html