看了不少樹狀陣列的資料，講解大多十分清楚，但是都沒有明確的推導過程，所以自己嘗試不那麼嚴謹地推導一下

一個長度為n的陣列C，需要能修改任意位置的數，並求前k個數的和（或者連續k個數的和）

• 如果直接累加，則修改時間複雜度O(1)，求和時間複雜度O(n)
• 如果使用輔助陣列儲存前k個數的和，則修改時需要更新從當前位置到陣列末尾的所有數，時間複雜度O(n)，求和時間複雜度O(1)

考慮平衡修改複雜度和求和複雜度，除非儲存前k個數的和，否則求和複雜度不可能降為O(1)，所以考慮想辦法降為O(log(n))

• 如果生成輔助陣列D，將前k個數求和化作k的二進位制形式每個1代表的數在輔助陣列D中的值的和，則求和複雜度可以降為O(log(n))

考慮如何實現上述方案，即求輔助陣列D

• 令陣列C=(C₀,C₁,...,C_n-1)，輔助陣列D=(D₀,D₁,...,D_n)，D₀=0
• 在k>0的情況下，設i=f(k)為k的二進位制表示的從右數第一個1的位置（從0開始計算），則D[k]其實是包含從C[k-1]到C[k-2ⁱ]，共2ⁱ個數的和
• 由於k二進位制表示從右數i右邊的位置都是0，可知D[k]其實是對滿足如下條件的所有C[j]求和：j二進位制形式低i位從000...000、000...001、000...010一直遍歷到111...111，第i位為0，高位同k相同
• 這樣如果修改C[j]，同時需要依次修改滿足以下條件的k：

1. 從右向左尋找j二進位制形式中的0，找到則將0置為1，並將這位的右邊全部置0，可以得到唯一的k，根據上面定義可知D[k]一定包含C[j]
2. 由於對於j二進位制形式中為1的位置，設此位置為i'，根據上面定義無法找到k，滿足f(k)=i'並且D[k]包含C[j]

• 綜合1、2可知修改時間複雜度也為O(log(n))

上面假設的陣列C下標從0~n-1，而輔助陣列D的下標從0~n，由定義可知在k>0時D[k]一定包含C[k-1]，所以可以設E_i+1=C_i，得到新陣列E=(E₁,E₂,...,E_n)代替陣列C，此時陣列E與輔助陣列D一一對應

在陣列修改（更新）的過程中，由於i+1等同於將i的最低0位置為1，並將此位右邊全部置0，又由於最低的0位右邊的位對於D[k]的查詢沒有影響，因此將陣列C替換為陣列E，修改E[j]的過程改為：先修改D[j]，然後從j二進位制形式最低的非0位開始，從右向左尋找j二進位制形式中的0，找到則將0置為1，並將這位的右邊全部置0，得到k，修改D[k]

參考文獻：

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%91%E7%8A%B6%E6%95%B0%E7%BB%84