BZOJ 1076 SCOI2008獎勵關 狀壓與期望DP
Problem
Problem Description
你正在玩你最喜歡的電子遊戲,並且剛剛進入一個獎勵關。在這個獎勵關裡,系統將依次隨機丟擲k次寶物,每次你都可以選擇吃或者不吃(必須在丟擲下一個寶物之前做出選擇,且現在決定不吃的寶物以後也不能再吃)。
寶物一共有n種,系統每次丟擲這n種寶物的概率都相同且相互獨立。也就是說,即使前k-1次系統都丟擲寶物1(這種情況是有可能出現的,儘管概率非常小),第k次丟擲各個寶物的概率依然均為。
獲取第 i 種寶物將得到Pi分,但並不是每種寶物都是可以隨意獲取的。第i種寶物有一個前提寶物集合Si。只有當Si中所有寶物都至少吃過一次,才能吃第i 種寶物(如果系統丟擲了一個目前不能吃的寶物,相當於白白的損失了一次機會)。注意,Pi 可以是負數,但如果它是很多高分寶物的前提,損失短期利益而吃掉這個負分寶物將獲得更大的長期利益。
假設你採取最優策略,平均情況你一共能在獎勵關得到多少分值?
Input
第一行有兩個正整數k和n,即寶物的數量和種類。以下n行分別描述一種寶物,其中第一個整數代表分值,隨後的整數依次代表該寶物的各個前提寶物(各寶物編號為1到n),以0結尾。
Output
輸出一個實數,保留六位小數,即在最優策略下平均情況的得分(即期望得分)。
Sample Input
#1
1 2
1 0
2 0
#2
6 6
12 2 3 4 5 0
15 5 0
-2 2 4 5 0
-11 2 5 0
5 0
1 2 4 5 0
Sample Output
#1
1.500000
#2
10.023470
Date Size
,分值為內的整數。
Solution
首先某些物品既然可能會有前提集合Si,而題目條件中給出了n的範圍為 ,那麼很容易想到,利用狀態壓縮來進行判斷是否具備前提集合,即
很容易想到利用DP來解決問題,令s表示之前已經取過寶物的狀態,即用f[i][s]表示第i輪的狀態為s時的期望得分。但是有一點問題,我們無法判斷在i輪能否能到達s的狀態,也就是有可能這個儲存的答案其實是無效的。那麼我們就可以採用倒推的方法。期望DP常用到倒推。
我們知道,。又因為每一輪甩出某種寶物的可能性均為,那麼就可以先計算期望得分的總和,最後再一次除。
由此:令s依然表示之前已經取過寶物的狀態,f[i][s]表示在第i到第k輪的期望得分。那麼這個答案的儲存位置就明確了,即f[1][0]。狀態轉移方程如下:
對於具備前提集合的,則有不取和取兩種狀態:
而不具備前提集合的,則只能選擇不取:
Code
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int k,n,maxx,c[16],state[16];
double f[105][1<<15];
void input()
{
int t;
scanf("%d%d",&k,&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&c[i]);
for(int j=1;;j++)
{
scanf("%d",&t);
if(!t)
break;
state[i]|=(1<<t-1);
}
}
}
int main()
{
input();
maxx=(1<<n)-1;
for(int i=k;i>=1;i--)
for(int s=0;s<=maxx;s++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if((s&state[j])==state[j])
f[i][s]+=max(f[i+1][s],f[i+1][s|(1<<j-1)]+c[j]);
else
f[i][s]+=f[i+1][s];
}
f[i][s]/=n;
}
printf("%.6lf\n",f[1][0]);
return 0;
}
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