題目描述

定義一個非空集合是合法的，當且僅當它滿足以下兩個條件。
1、集合內所有元素and和為0
2、它的非空子集中僅有它本身滿足1
給出一個集合S，求它的合法非空子集數。

DP

先把給定集合所有數取反。
比如有效位數是4位，1101就變成0010。
那麼問題變成，所有元素or和為1023，而去掉任意一個元素後or和均不為1023。
那麼接下來我們來設一個詭異的狀態。
因為要知道去掉一個人元素會不會使or和為1023，因此我們前後都要知道。
可以設一個f[i,j,k]表示做完了i個數，前面選擇的一些數or和為j，我們希望後面選出的數or和為k。
然而隨便推一推都覺得不會轉移啊。。
這時趕緊改一下狀態，設f[i,j,k]表示做完了i個數，前面選擇的一些數or和為j，我們希望後面選出的數or和包含k（什麼叫包含？x包含k需滿足x&k=k）
設第i+1個數為x。
不選？f

[i+1][j][k]+=f[i][j][k]
選呢？
假設後面部分不包含x時是k’。
我們發現k’需要滿足兩個條件：
1、k’|x=k（根據狀態定義）
2、k’|j|x!=k’|j（如果等了那麼就能去掉x了）
滿足條件的k’肯定存在一些包含關係，而我麼的狀態設的也是包含，所以轉移會比較方便。
先只考慮滿足第一個條件：
f[i+1][j|x][k^(k&x)]+=f[i][j][k]
這個很容易考慮，如果k的某一位有1，x該位也有1，那麼k’的這一位可以是0也可以為1。
再去掉滿足第一個條件而不滿足第二個條件的：
f[i+1][j|x][(k^(k&x))|(x^(x&j))]-=f[i][j][k]
這是個什麼意思？先看後面，顯然只有x的某一位是1，而j的對應位是0時才有1的貢獻，意思就是x會給j的哪些原本沒有1的位變成1。
而如果k’的這些位也有1，那麼j|k’後，再或x將不變，因此會不滿足第二個條件。
然後這個dp就是正確的，初始f[0][0][0]=1，最後答案是f[n][1023][0]。
假設有m位，這樣做是n

∗4m
考慮優化吧。我們來證明，如果f[i][j][k]不為0，一定有j包含k。
初始時顯然滿足。
看第一條轉移，f[i+1][j|x][k^(k&x)]+=f[i][j][k]。
假如j包含k，k的某位為0時，k&x的對應位肯定也是0，所以k^(k&x)並不會多1，反而可能少1，但j|x不會少1，因此有j|x包含k^(k&x)。
看第二條轉移，f[i+1][j|x][(k^(k&x))|(x^(x&j))]-=f[i][j][k]。
假如j包含k，記k’=k^(k&x)。假如k’某位為1，可以不管它，由上面的結論j|x的這位也會是1。假如k某位為0，k’這位也是0，而x^(x&j)是1，那麼最終這位會是1，而因為x^(x&j)的這位是1，x這位必須是1，那麼j|x這位也有1了。
這樣列舉j後每次只需列舉一個j包含的k，有個快捷的列舉方法見程式碼。
那麼可以證明覆雜度降為n

∗3m

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=1000+10,N=1023,mo=1000000007;
int a[maxn],f[N+10][N+10],g[N+10][N+10];
int i,j,k,l,t,n,m,ans,x;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i]),a[i]^=N;
    f[0][0]=1;
    fo(i,1,n){
        fo(j,0,N){
            k=j;
            while (1){
                g[j][k]=0;
                if (!k) break;
                k=(k-1)&j;
            }
        }
        x=a[i];
        fo(j,0,N){
            //if ((x&j)==x) continue;
            k=j;
            while (1){
                (g[j|x][k^(k&x)]+=f[j][k])%=mo;
                (g[j|x][(k^(k&x))|(x^(x&j))]-=f[j][k])%=mo;
                if (!k) break;
                k=(k-1)&j;
            }
        }
        fo(j,0,N){
            k=j;
            while (1){
                (f[j][k]+=g[j][k])%=mo;
                if (!k) break;
                k=(k-1)&j;
            }
        }
    }
    ans=f[N][0];
    (ans+=mo)%=mo;
    printf("%d\n",ans);
}