求解 是我們會常常遇到的，c++裡一個sqrt(x)就解決了。這個值怎麼得到的，倒是個有趣的問題。比較容易想到的是把這個問題轉換為 ，接著就一個個試了……有人會說媽的智障，好吧，怪我沒講清楚，試要試得有水平，不能瞎試吧。其中，二分法就是一個試的有水平的方法，二分法簡而言之就是找有可能範圍中的中間的那個數來試。下面會談到二分法、牛頓迭代法和一種神奇的方法 。

二分法

以 為例，可能的範圍是[0, 10]，取中間的值5，試下乘法口訣表五五二十五，大了。可能的範圍的就縮小為了[0, 5]，接著取2.5，小了，取[2.5，5]……又有人說了，這得試到什麼時候啊，這裡就需要設定一個誤差err，當

c++程式碼如下：

float dichotomyMethod(float n, float err)
{

    float bigNum = n;
    float smallNum = 0;
    float midNum = 0;
    float errTemp = 0;

    do
    {
        if(errTemp > 0)
            bigNum = midNum;
        else
            smallNum = midNum;
        midNum = (bigNum + smallNum) / 2.0
 
;
        errTemp = midNum * midNum - n;

    }while(fabs(errTemp) > err);

    return midNum;
}

牛頓迭代法

之前一直不知道這種方法，直到上了一門《數值分析》的課。當然是考試前複習的時候才直到的，O(╯□╰)O 。這種方法能夠花比較少的次數接近結果，在單根附近有平方收斂。

對於來說可以通過 來迭代求解，直到達到精度的要求。

上面的式子很簡單，幾何上的意義是點Xn處的切線與x軸得到的交點就是 Xn+1。下面這張動圖能比較好說明。

代數上是對 f(x) 進行泰勒展開，並取前兩項。

c++程式碼如下：

float newtonIterationMethod(float n, float err)
{
    float x = n;
    float temp = x;
    do
    {
        temp = x;
        x = (x + n / x) / 2.0;

    }while(fabs(x * x - n) > err);

    return x;
}

對比下以上兩種方法所花的時間。計算1000次總時間的對比：

• 二分法 625us
• 牛頓迭代法 193us

牛頓迭代法勝出，差距還是比較明顯。

神奇方法

在部落格上看到一種很神奇的方法，是來自遊戲Quake III的原始碼，求得是。程式碼如下：

float InvSqrt (float x)
{
    float xhalf = 0.5f*x;
    int i = *(int*)&x;
    i = 0x5f3759df - (i>>1);
    float y = *(float*)&i;
    y = y*(1.5f - xhalf*y*y);
    return y;
}

對於遊戲來說，速度比精度重要，不像科學計算那樣。這種方法做了一些近似，精度不一定高，但是速度快。可以看到，這方法僅僅用了一句i = 0x5f3759df - (i>>1);就完成了計算，後面加了牛頓迭代提高精度（想得到更高的精度可以多迭代幾次）。

具體原理可以看上面提高的部落格，反正我是沒看懂……站在數學制高點的人程式設計真的就是開掛啊，喂。

三種方法加自帶函式的時間對比(1000次，只是巨集觀上的對比，編譯器可能會有優化)：

• 二分法 600us
• 牛頓迭代法 150us
• 神奇方法 26us
• 自帶sqrt 19us

有趣的是，據說提到的這種神奇的方法在10幾年前比自帶的sqrt函式快4倍左右，現在編譯器各種優化加硬體上的變化，也許也有演算法上的改變，使得自帶的sqrt函式變快了。一個sqrt都能玩的這麼溜，也是服了。

csdn部落格mardwon模式不能渲染Latex公式真的煩！