要求b[j]，表示a[0]……a[i]組成，那麼顯然是要用到a[i]的，不然不就成了b[i-1]，既然用了a[i]，但是又要使相鄰的倍數在K以上。則找到最大的j，使a[j]*k<a[i]那麼滿足條件，便是a[0]……a[j]能組成的最大的數，加上a[i]，那麼後者表示當前項不能和之前項組合，那麼最大的數就只能是本身

附上我當時搜的大神的資料，看到這個我才搞懂的k倍動態規劃的原理

思路：

博弈論中的 K倍動態減法遊戲，難度較大，參看了好多資料才懵懂！

此題可以看作 Fibonacci 博弈的擴充套件，建議沒弄懂 Fibonacci博弈的先學那個，個人整理 http://blog.csdn.net/tbl_123/article/details/24033245 ；

而說擴充套件體現在數列不再是Fib數列，是根據 k 的值自行構造的，其它換湯不換藥，具體構造方法如下：

這兒方便說明白，首先根據k的值分情況討論：

1) 當 k = 1 時，必敗態為 n = 2 ^ i, 因為我們把數按二進位制分解後，拿掉二進位制的最後一個1，那麼對方必然不能拿走倒數第二位的1，因為他不能拿的比你多。你只要按照這個策略對方一直都不可能拿完。所以你就會贏。而當分解的二進位制中只有一個1時，因為第一次先手不能全部取完，所以後手一定有辦法取到最後一個1，所以必敗！

舉個例子，當 n = 6 = （110）時:

第一輪：先手第一次取最右邊的1，即2個，此時還剩4（100）個，後手能取1或2個；

第二輪：假如上輪後手取的兩個，先手再取兩個直接贏了

假如後手取了一個，那麼還剩三個，自己只能去1個，以後也只能取一個，所以必勝！

2) 當 k = 2 時，赤裸裸的Fibonacci博弈了，具體這兒不多說，自己再上述部落格已寫的很明白了。其實n經拆解後也可以表示成二進位制的形式，用 k = 1時的方法來理解，比如 n = 11 = 7 + 3 + 1，可表示成 10101；

3) 當 k 取任意非零正值時，重點來了：

猶如Fibonacci博弈，我們首先要求一個數列，將n分解成數列中一些項的和，然後就可以按Fibonacci博弈的解決方法來完成，也可以按二進位制的方法來理解，每次取掉最後一個1 還是符合上面的條件。

我們用a陣列表示要被求的數列，b陣列中的b[i]儲存 a[0...i] 組合能夠構造的最大數字。這兒有點難理解，所謂構造就是指n分解為Fib數相加的逆過程。舉例說明，當k = 2 時，a[N]={1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 33....} （Fibonacci陣列）；那麼b[3] 即 1、2、 3 能夠構造的最大數字，答案是4，有點匪夷所思？或許你會問為什麼不是5、6或者其它的什麼，其實是這樣的 ，4 能分解成 1+3 是沒有爭議的，但5能分解成2+3嗎? 不能，因為5本身也是Fibonacci數；6雖然能分解，但不是分解成1+2+3，而是分解成1+5。

經過上述，我們知道b[i] 是 a[0...i] 能夠構造出的最大數字，那麼a[i +1] = b[i]+1；因為a陣列（Fib陣列）所存的數字都是不可構造的（取到它本身就是必敗態），顯然a[0...i]構造的最大數字 + 1 即為下一個不可構造的數字了(a[i + 1])。

然後關於b[i]的計算，既然是a[0...i]構造最大數字，那麼 a[i]是一定要選用的（這兒需要一定的推理，a[i]構造數字時，相鄰的j個是不能同時用的，就像上述的2、3不能構造出5一樣，推理請自己完成），那麼要選用的下一項只能遞減尋找，直到找到 a[t] 滿足 a[t] * K < a[i] ，而b[t]就是a[0...t]所能構造的最大數字，再加上a[i], 即為a[0...i]能構造的最大數字，於是b[i] = b[t] + a[i]。

求的數列後，之後的工作就簡單了，跟Fibonacci博弈一樣一樣的，如果n=數列中的數，則必敗，否則必勝；必勝時還要求輸出第一步取法，其實就是分解的數列中最小的一個，將見程式碼。

#include 
#define N 20000005

int a[N], b[N];			// a 為數列， b 儲存 a[0...i] 能構造出的最大的數

int main()
{
    int n, k;
    int loop = 0, casei = 1;
	scanf("%d",&loop);
	while(loop --){
        scanf("%d%d",&n,&k);
        a[0] = b[0] = 1;
        int i = 0, j = 0;

        while(n > a[i]){			// 構建數列
            i ++;
            a[i] = b[i - 1] + 1;
            while(a[j + 1] * k < a[i])
                j ++;
            if(k * a[j] < a[i])
                b[i] = b[j] + a[i];
            else
				b[i] = a[i];
        }

        printf("Case %d: ", casei ++);
        if(n == a[i])
			printf("lose\n");
        else{
            int ans;
            while(n){
                if(n >= a[i]){		// 構成 n 的最小的數列中的數字，即為第一次要取的數字
                    n -= a[i];
                    ans = a[i];
                }
                i --;
            }
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}