【演算法】歐幾里得——GCD引發的討論
歐幾里得演算法
任務
求兩個數a,b的最大公約數gcd(a,b)
說明
由貝祖定理[若設a,b是整數,則存在整數x,y,使得ax+by=gcd(a,b)]得,gcd(a,b)=(b,a-b),其中a≥b。通過這樣不斷的迭代,知道b=0,就是原來數對的最大公約數。考慮到只使用減法會超時,我們觀察到如果a-b仍然大於b的話,要進行一次同樣的操作,就把a減到不足b為止,所以有gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)。由此可以在log的時間內求出兩個數的gcd。
程式
int gcd(int a,int b);
複雜度
O(logN),其中N和a,b同階
輸入
a,b兩個整數
輸出
a,b的最大公約數
程式碼
int gcd(int a,int b){
return b == 0? a : gcd(b, a % b);
}
擴充套件歐幾里得
任務
求出A,B的最大公約數,且求出X,Y滿足AX+BY=GCD(A,B)。
說明
要求X,Y,滿足:AX+BY=GCD(A,B)。
當B=0時,有X=1,Y=0時等式成立。
當B>0時,在歐幾里得演算法的基礎上,已知:
GCD(A,B)=GCD(B,A mod B)
先遞迴楸樹X’,Y’滿足:
BX’+(A mod B)Y’ = GCD(B,A mod B) = GCD(A,B)
然後可以回推,我們將上式化簡得:
BX’+(A-A/B*B)Y’=GCD(A,B)
AY’+BX’-(A/B)*BY’=GCD(A,B)
這裡除法指整除。把含B的因式提取一個B,可得:
AY’+B(X’-A/B*Y’)=GCD(A,B)
故X=Y’,Y=X’-A/B&Y’
程式
int extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y);
複雜度
O(logN),其中N和a,b同階
輸入
a,b兩個整數
&x,&y引用,ax+by=GCD(a,b)的一組解
輸出
a,b的最大公約數
呼叫後x,y滿足方程ax+by=GCD(a,b)。
程式碼
int extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y) {
if(b==0) {
x=1;
y=0;
return a;
} else {
int r=extend_gcd(b,a%b,y,x);
y-=x*(a/b);
return r;
}
}
參考文章:
ACM國際大學生程式設計競賽:演算法與實現
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