對於一條有向邊(u,v)，定義u < v；滿足所有這樣條件的結點序列稱為拓撲序列。拓撲排序就是求一個有向圖的拓撲序列的演算法。
一個有向圖頂點的拓撲序列不是惟一的。並不是任何有向圖的頂點都可以排成拓撲序列，有環圖是不能排的。

例子：比如排課問題，比如士兵排隊問題等。
         拓撲排序在實際生活中和演算法中都有很大的應用。比如要排一下幾門課程的先後次序，我們可以把課程抽象成結點，把什麼課是什麼課的基礎抽象成邊，那麼該圖的一個拓撲序列就是這些課的一個可行的先後次序。各種語言的編譯器都用到了拓撲排序。
    數學基礎：
        什麼是拓撲排序(Topological Sort)?簡單地說，由某個集合上的一個偏序得到該集合上的一個全序，這個操作稱之為拓撲排序。
    回顧離散數學中關於偏序和全序的定義：
        若集合X上的關係R是自反的、反對稱的和傳遞的，則稱只是集合X上的偏序關係。
        設R是集合X上的偏序(Partial Order)，如果對每個x,y∈X必有xRy或yRx，則稱R是集合X上的全序關係。
        直觀地看，偏序指集合中僅有部分成員之間可比較，而全序指集合中全體成員之間均可比較。[例如]，圖7.25所示的兩個有向圖，圖中弧(x,y)表示x≤y，則(a)表示偏序，(b)表示全序。若在(a)的有向圖上人為地加一個表示v2≤v3的弧(符號“≤”表示v2領先於v3)，則(a)表示的亦為全序，且這個全序稱為拓撲有序(Topological Order)，而由偏序定義得到拓撲有序的操作便是拓撲排序。

     

 
AOV-網及其拓撲有序序列產生的過程
(a)AOV-網；(b)輸出v6之後；(c)輸出v1之後；(d)輸出v4之後；(e)輸出v3之後；(f)輸出v2之後

    [思想]：
    一、從有向圖中選取一個沒有前驅的頂點，並輸出之；
    二、從有向圖中刪去此頂點以及所有以它為尾的弧；
    重複上述兩步，直至圖空，或者圖不空但找不到無前驅的頂點為止。沒有前驅 -- 入度為零，刪除頂點及以它為尾的弧-- 弧頭頂點的入度減1。

Status Topological Sort(ALGraph G){
    //有向圖G採用鄰接表儲存結構。
    //若G無迴路，則輸出G的頂點的1個拓撲序列並返回OK，否則ERROR。
 

        FindInDegree(G，indegree)； //對各頂點求入度indegree[0..vernum-1]
        InitStack(S)；
        for(i=0；i<G.vexnum； ++i)
        if(!indegree[i])Push(S，i) //建零入度頂點棧,s入度為0者進棧
        count=0； //對輸出頂點計數 
        while (!StackEmpty(S)) {
            Pop(S，i)； 
            printf(i，G.vertices[i].data)； ++count； //
 
輸出i號頂點並計數 
            for(p=G.vertices[i].firstarc；p； p=p—>nextarc) {
                k=p—>adivex； //對i號頂點的每個鄰接點的入度減1
                if(！(--indegree[k]))Push(S，k)；//若入度減為0，則入棧
            }//for
        }//while
        if(count<G.vexnum) return ERROR； //該有向圖有迴路
        else return OK；
    }//TopologicalSort 

思想:

維護一個頂點入度為0的棧,

每次取棧頂元素top輸出,對於top相鄰的點進行入度數-1處理,處理後如果度數為0,再次入棧.

執行n次出棧操作,便可輸出一個圖的拓撲序.

判斷是否包含有向環:如果入度為0的棧為空(top==-1),則說明包含有向環.(證明:無環時總有點入度為0).

時間複雜度:

1.搜尋入度為0的頂點,建棧所需時間O(n);

2.無有向環時,每個頂點入棧一次,出棧一次,每條邊掃描一次且僅一次,時間複雜度O(m).

3.總複雜度:O(n+m).

演算法 ，總的時間複雜度為O(n+e)。

作者: 自由、創新、研究、探索……
出處：http://shanyou.cnblogs.com/
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