為什麼要進行傅立葉變換，

為什麼要講線性時不變系統

為什麼h（t）就能表徵一個系統

什麼是因果系統跟h（t）有什麼聯絡，為什麼有聯絡

什麼是穩定系統跟h（t）有什麼聯絡，為什麼有聯絡

什麼是濾波器

拉普拉斯變換又是怎麼回事

拉普拉是的零極點圖為什麼能分析系統的特性（Z變換的同樣）

Z變換到底是想幹什麼

這些變換在實際中怎麼應用的（最困惑的）

相位到底是什麼？

序列的傅立葉變換為什麼是週期的連續譜

群延遲到底是什麼

離散傅立葉變換到底是怎麼回事

FFT又是什麼

離散傅立葉變換和FFT到底有什麼實際意義（我很關心實際應用）

離散濾波器到底是什麼玩意（我們經常看到的就是一串抽象出來的Z公式）

為什麼要變換

1．為什麼要講線性時不變系統，因為以後的討論都是基於線性時不變系統的（至少訊號系統和數字訊號處理是這樣），線性時不變系統的特性：1 線性2時不變性。線性就是訊號疊加後輸出還是疊加，時不變就說訊號今天進入系統輸出的波形和明天進入系統輸出的波形是一樣的。

2．為什麼一個h（t）能表徵一個系統

首先這個系統必須是線性是不變系統，這點應該牢記。推到過程是把系統輸入訊號分解成一群衝擊訊號的組合，然後利用系統的線性和是不變性，輸出就是h（t）的平移，加權，疊加，其實這就是卷積了直觀意義了。奧本海姆的訊號系統70頁那幅圖困擾過我，當時腦子裡全是線性時不變系統，我就想當然認為他的圖不太對勁，當我再回頭想想的時候，他壓根沒說線性是不變系統，他的那幅圖不是一個h(t),而是每個&（t-t0）時刻的h（t）所以那幅圖反應的不是線性時不變系統，只是線性系統（因為他只用了疊加）沒有h（t）的平移（不能平移）. 這最終導致了卷積的出現，有了h（t）能表徵一個系統。所以卷積和h（t）是一致的，條件是線性時不變系統。

3.為什麼傅立葉變換：首先說傅立葉級數，週期訊號可以分解成很多正弦訊號的疊加。（為什麼要分解為正弦訊號？）這就要提到剛剛說到了線性是不變系統了，前面已經說過的卷積和h（t）了，正是這些性質，所以就有了一種很特殊的訊號，那就是是e（st），這種訊號經過線性時不變系統系統後（卷積一下就可以看到）就是一個數乘以e（st）。訊號系統研究的內容之一就是訊號經過系統後的輸出是什麼樣的。但是一個任意的訊號太不好分析了，既然線性時不變系統和e（st）訊號有這樣好的品質，為什麼不把訊號分解成e（st）訊號呢！所以就有了訊號的傅立葉變換（包括傅立葉級數）分解為e（jwt）。這樣的一群訊號經過線性時不變系統後，就是容易分析了。前面說的那個數就是H（s）或者H(jw)了，這個的匯出也是基於線性是不變性。到此就可以看出H（jw）也就表徵了一個線性時不變系統系統。線性時不變系統對於訊號的改變就是兩個：1 加權2平移（就是相位變化）這就是H(jw)體現出來的。H（jw）就是h（t）的傅立葉變換。（為什麼傅立葉變換暫時說到這，下文繼續）。

4．因果系統和h（t）有什麼聯絡：因果系統就是現在的輸出和只和輸入訊號在此時刻以前有關，和此時刻以後無關。這就會用到卷積公式了，可以看出輸出y（t）要是和此時可以後的輸入訊號無關那麼h（t）就要在小於0為0了。無疑這個的前提也是線性時不變系統。

5. 穩定系統和h（t）聯絡：輸入有界輸出有界，也是通過卷積公式體現出來的就是h(t)絕對可和。前提也是線性是不變系統。

6. 什麼是濾波器：我的理解就是任何系統都是濾波器，就連一根導線也可以算得上一個濾波器。只是濾波器更傾向於有特定效能。所謂的特定效能就是對訊號平移和加權更有針對性。一句話：濾波器就是一個系統。設計濾波器就是設計這個H（jw）。

7. 再說傅立葉變換：傅立葉變換，拉普拉斯變換，z變換，幾乎所有的書都要把他們類比分析，目的很簡單就是讓學習變的容易些，但是這容易引導我們進入另一個誤區，那就是這三個變換是一樣的性質，一樣的應用。其實不是，傅立葉變換既分析訊號也分析系統。但是拉普拉斯變換主要用於連續系統的分析，而z變換就是用於離散系統的分析，也就是分析系統的效能。拉普拉斯變換和z變換稍後再說。

傅立葉變換：先說傅立葉級數，就是把一特定週期訊號分解成很多正弦訊號的疊加，這樣的一群正弦訊號有一個基波頻率，關鍵是這樣的一群訊號是怎麼樣疊加的。首先每個正弦訊號有自己的幅值，有的可以是0。這樣的一群訊號其實很簡單，只有兩個初相位0 和pi/2，所以傅立葉級數只用求出各個正弦訊號的幅值即可。然後疊加就可以了。傅立葉變換是針對非週期訊號的，一般可以得到一個|F(jw)|圖，和一個相點陣圖。先說|F(jw)|圖，|F(jw)|圖首先是w的連續函式，也就是說w即便帶限，但是w還是無窮多的，這就可以理解每個w的幅值必然趨近0，因為週期無窮大，所以|F(jw)|已經表示的不是每個w個的幅度值（乘以了一個趨於無窮大的T），而是每個w在原訊號中所佔的比重大小，所以叫頻譜密度，跟概率密度函式一個道理。相點陣圖又表示什麼意思，我在開始學習的時候，幾乎把相位給扔了，直到看到奧本海姆的第六章才開始真正理解相位的含義，前面說了訊號是一群正弦訊號的疊加，首先每個訊號都有自己的幅值（即便趨近0），但是不是隨便疊加就能得出變換前的那個訊號的，比如說sin（x）和sin（x+pi）這兩個訊號疊加就是0。但如果是sin（x）+sin（x）就不是0。其實就是兩個正弦訊號的相對位子改變了，所以疊加後的訊號也變了，所以對於一個特定訊號，不僅每個正弦訊號的幅值是一定的，而且每個正弦訊號的相對位置是固定的，因為相對位置的改變會導致疊加後訊號的不一樣，對於一個特定的訊號每個正弦訊號的位置是固定的，這就產生了相位，當我找到一個參考座標的時候相位就出來了，換句話說我把一群正弦訊號都擺在座標軸上，每個的幅值固定，相對位置固定，這樣疊加就會得到一個特定的唯一的訊號。假如以y軸為參考點就可以看到每個正弦訊號和y軸的交點是不一樣的。這就是初相位了。所以相位和幅值共同決定了一個特定唯一的訊號。這也是傅立葉變換是一一對應的結果。順便說下，傅立葉變換是正交變換，這樣一一對應的結果也正是由於傅立葉變換是正交變換。所以對訊號做傅立葉變換就可以得到|F（jw）|和相點陣圖。這兩個圖就決定了一個訊號，|Fjw)|表示了這個訊號的包含所有的w，和每個w的比重，而相點陣圖則說明了這些w的正弦函式的相對位置。再說系統函式h（t）的傅立葉變換H（jw）,這和上面的理解完全是一樣的，只是得提醒一下，H（jw）已經側重於系統了，而不是側重於把h（t）分解成那一群訊號了。看到H（jw）也是兩幅圖，很明顯但是很容易被我們忽略的是，這兩幅圖的意義已經發生變化了，因為H（jw）已經是表徵系統了，而不是表徵一個訊號了，|H(jw)|表示的意思假如系統輸入一個w的正弦訊號時，我應該給它加權多少，對應|H(jw)|等於0的w正弦訊號經過系統後肯定被過濾了，相點陣圖則是表示對w的正弦訊號平移多少，也就是把w的正弦訊號向後移動多少，這自然可能使輸入訊號的一群正弦訊號的相對位置發生改變。所以H(jw)和F（jw）所表示的意義是有區別的（側重點不一樣導致的）。

8．拉普拉斯變換：其實拉普拉斯變換更主要應用系統的分析。我看過的書上引入拉普拉斯變換都要提到，不穩定訊號，也就是不可積訊號。他們沒有傅立葉變換（特殊的有除外），確實是這樣的，但到最後很明顯的是，拉普拉斯變換側重與系統分析了（其實系統分析也是要研究系統對訊號的改變，只是研究物件是所有訊號）。當然也會對訊號進行拉斯變換，因為它畢竟也有很多性質的，可以分析輸出訊號的。其實到拉斯變換我們已經不怎麼關心輸入訊號是有這群e（st）怎麼疊加的了，鄭君裡的書上講的拉斯變換，講的很多，特別是舉得例子，優點是都是實際的電路，缺點也是在於此，太複雜了，很多時間我們消耗在解這樣的電路上了，這會阻礙我們對概念的理解，當然拉斯變換的最終目的還是分析電路。但是可以舉一些簡單容易接受的例子。鄭君里老師在講拉斯變換的時候主要篇幅講的是單邊拉斯變換，這也是可以理解的，因為實際連續系統基本都是因果系統。奧本海姆主要講的是雙邊的。這就導致了我第一次看的時候沒看明白（兩個都看了），看的很亂。亂主要在於性質上面。當時看奧本海姆的時候看的很順，因為這完全和傅立葉類似（都是雙邊的），看到鄭君里老師的書，就不一樣了，這裡說的是單邊拉斯，這裡就要提到零狀態了(雖然這一塊也需要細心理解一下，我感覺這裡面沒有難以理解的，就是要分清概念，前面提到的系統函式，經常用於訊號的變換和h（t）的變換乘積，再反變換就可以得到輸出訊號，其實這是有前提的，這是零狀態的情況下，拉普拉斯變換在分析系統的時候是把零狀態和零輸入一塊考慮了，這點對於初學者要注意。所以在變換性質推到的時候和傅立葉變換有些不一樣，主要這裡討論的是單邊拉斯，而且由於單邊，所以要考慮0時刻以前的狀態，也就是系統在訊號輸入前，系統的儲能。

9. 說一下h（t）吧：h（t）是什麼前面一直沒說，就是說了可以表徵一個系統。h（t）是什麼？哪來的？h（t）就是衝擊響應，也就是衝擊函式作用於系統產生的輸出。那到底什麼什麼呢？系統又是什麼呢？前面說了那麼久，似乎一直在頻域上討論，所以我們從時域來看看這些東西到底是什麼。對於連續的系統，就是微分方程，為什麼是微分方程，這就是由於電路里面的積分微分電路了得出的方程。書上都有，但是幾乎每本書在討論這塊都說的很簡單，給我們學習的時候造成了一些假象，以為這些不是主要部分，其實前面的時不變性，穩定性，因果性，看的時候沒有過多重視，其實後面的討論很多都是基於這些前提的，這也是我後面學習感覺混亂的原因，也是我在前面強調的原因。再看微分方程，其實把輸入x（t）令為&（t）就可以解出y（t）。這個就是衝擊響應h（t），但是這也是有前提的，零狀態的情況下，就是系統開始沒有儲能。所以用h（t）*x（t）只能得到零狀態輸出。對於一個給定的系統，肯定是先看有沒有狀態，在分析系統函式H（jw）。這個H（jw）是怎麼來的，剛開始一眼就可以看出來是就是h(t)的傅立葉變換，這是有道理的，但是我們不應該忽略了另一個角度，那就是吧微分方程的每個時間函式進行變換，然後y（t）的變換除以x（t）的變換就可以得到了H（jw）。所以一個微分方程對應一個h（t），也就是對應一個H(jw).

10. z變換：其實很明顯z變換主要應用於離散時間系統的分析，

11.序列的傅立葉變換（注意不是離散傅立葉，很多人可能注意到了它們的不同，但是真正理解他們的不同可能需要耗費一些時間）為什麼是週期的連續譜。

首先看一下序列傅立葉變換是什麼，說的是把一個時間序列分解成很多正弦序列sin（Wn）或者e（jWn）。第一次看這部分的時候，不理解，為什麼離散的訊號，咋變換後變成連續的了。但是奧本海姆書上的21頁那些圖，讓我想到了很多。sin（Wn），是什麼？就是對sin（wt）的取樣。我假設橫座標從-1開始，在-1 0 1 2 3 4。。。都要取樣，任意不同的sin（wt）放到座標軸上就可以得到一組離散的值，試想一下這個小w可以是任意的的值啊，所以w可以是任意的0到無窮大，但是這個w的連續還不能解釋為什麼譜是連續的，為什麼？因為這個w和W（前面有區分）是不一樣的，一個時間角頻率，是真實意義上的頻率，但是W不是，首先看單位，w的單位是弧度每秒，但是W的單位是弧度，所以不是嚴格意義上的頻率，這就是數字角頻率！這個W是怎麼來的，請看，剛才離散取樣的時候，取樣從0到1這個間隔wT（就是sin（wt）在這個間隔掃過的角度）的變化就是這個W，因為w是連續的，所以W肯定也是連續的了。再看為什麼是週期的，公式推導很簡單，但是還不能直觀的理解為什麼是週期的。再看剛才的取樣，0點和1點的取樣，正弦訊號的角度變化，一般書上在這兩點之間波形變化是小於一個週期，但是有沒有想過，0和1之間這個正弦訊號振動了很多次，就是有很多個波長，那這個w是很大的，W當然也是很大的，但是但是這個小w卻不能被體現出來（採不到）。有圖很好說明，哎（恕我無力啊）！只能點到。這樣週期性就被體現出來了。

12. 群延遲，困擾我時間最長的一個概念，除了奧本海姆的書討論的相對多些，其他的書都介紹的很簡單。群延時 我的理解

首先就是定義式 那個負的求導式（公式不會打）首先可以看到的是對w的求導，這使得我聯想到的是路程s（t）對時間的導數也就是速度V(t),導數越大，也就是速度越大，直觀上就是在微小時間間隔t1~t2內，路程變化的越大。

同理群延時的定義導數（絕對值）越大，也就是意味著在微小頻率間隔w1~w2內，相位的變化卻是很大的。換句話說就是 微小間隔w1~w2這個頻段都發生了相位變化（經過系統後），在時間上體現可能都是很短暫的（指的是等效為時間的延遲，當然也可能很大），因為一般頻率都很大，而相位變化（在時間上能體現出來的）只可能在0~2pi(因為2*k*pi+0~2pi,前面的2*k*pi是沒有意義的，在時間上也體現不出來延遲),，但是頻段W1~W2相位變化的程度是不一樣的(因為導數很大)。通俗點說吧就是w1和w2相距很近，但是相位變化卻相差如此巨大（導數大），這就說明肯定有一個是不合群了（經系統後），所以其中的一個就會被拖出來（顯示在時間上，兩個頻率可能時間延遲都很小，但是相對卻很大）。其實一個特定訊號就是一群w的正弦函式的加權，但是這群正弦函式的相對之間的位置固定的（針對一特定訊號），其實就是每個w的初相位。一句話就是：w1和w2（相距很近）經系統後，應該有差不多一樣的相位變化，既然變化差別很大就說明有一個通過系統後不合群。相對時間延遲很大，所以就被拖出來了。

群延時！=相位延遲。

相位延遲就是實際延遲，體現在時間上就是經系統後相位變化（0~2pi）除以對應的w，群延時是相對變化的大小。

順便說下，相位變化，前面討論了什麼是相位，也說明訊號經過系統後相位會變化，線性相位經常別提到，每個正弦訊號經系統後都會被向後移（一般都是），就是相位變化了，但是相位變化是以時間的形式體現出來的，正是由於以時間的形式體現出來的，時間只能反映出0—2*pi的相位變化，因為sin（wt）和sin（wt+2*pi）在時間上是體現不出來的，完全重合。線性相位就是說每個正弦訊號都被移了而且在時間上體現出來，都是被向後移了相同的時間。所以輸出訊號的所有正弦訊號的相對位子沒有變化。如果|H(jw)|在帶限內為1，這就是理想低通濾波器了，經過此係統訊號僅僅是被向後一了時間t0，t0就是系統相位函式的斜率。如果輸出訊號的相對位置變化了，那麼疊加後的波形肯定就跟輸入波形不一樣了（假設幅度加權都為1），曾經看到這了時候，一個想法蹦出來了，這還是線性是不變的嗎？其實仔細想想概念，這個問題根本不是問題，就是概念沒吃透。

13. Z變換 其實z變換已經把我們過渡到數字訊號處理了，z變化針對離散時間系統的，大部分書在講數字訊號處理的時候，一般的順序是：先z變換，再序列傅立葉變換，再離散傅立葉變換，再就是FFT，再就是濾波器了。這樣學習的時候，學到濾波器的時候，很困惑，就是z的一串公式，和離散傅立葉沒關係了，當時感覺不理解這些東西。上封郵件我舉得那個濾波器的例子我感覺是很好的，它可以從硬到軟，從時域到頻域，從簡單到複雜，刻畫了一個濾波器，一個系統。數字濾波器設計就是設計這樣的一串z公式，其實這個z公式就是一個差分方程，濾波器是什麼，就是連續輸入系統的一些數進行加減乘除運算，這就是差分方程表示的意義，它就對應了一個z公式。所以我前面說過z變換也主要用於系統的研究，就是研究系統的特性了。

14. 三大變換實際中是怎麼作用的：

其實這三大變換都是從另一個域來分析系統和訊號的，他們的意義就是簡化我們在草稿紙上的計算，方便我們分析系統的效能，設計適合需要的系統。但是所有時域上的變化都是卷積。我們感覺頻域乘積能讓我逃脫卷積，是的，但那只是在草稿紙上。但是FFT不是，後文講述。說到卷積，有人說是工具，我不太認同，我認為就是一個符號，或者代號。就是把一種積分運算叫著卷積，實際還是要積分。前面一直沒有就說到卷積，我想從離散的角度去講卷積，離散的更直觀一些。假如單位衝擊響應從零時刻起0 1 2 3 4時刻的值分別是1 3 5 7 8，這就說第一個單位衝擊進入系統，就會從進入時刻起產生這樣5個輸出值，不是同一時刻，是接下來連續的5個時刻，這就是說當下一個時刻的輸入訊號進入時，上一個產生的響應還有，那就要兩個時刻的相加，所以卷積為什麼是反轉，平移，相乘，相加了，畫出圖就很明顯了，這就是卷積的意義。

15．FFT：前面說了三大變換隻是我們在草稿紙上的簡化計算，時域還是卷積，FFT不是。說到FFT就要說離散傅立葉變換。離散傅立葉變換，書上都說為了適合計算機計算。這句話說的很簡單，但是我們容易忽略一個很重要的事實，那就是計算機開始計算頻域了，因此要把頻譜給離散化了。所以離散福利也變化已經跟前面三大變換不一樣了。以前都是我們在草稿紙上先是正變換再頻域相乘，再反變換，得出輸出訊號。離散傅立葉變換把這個計算過程搬到計算機上了，而不是僅僅停留在草稿紙上了。而FFT我感覺只是個演算法，利用離散變換本身內在的性質，簡化計算過程，提高運算效率。

16．再說變換：變換是什麼，我認為就是把訊號的特徵給提取出來，而且要一一對應，這樣才能反變換，通訊中的編碼可以被理解為正變換，解碼就可以被理解反變換。舉個不太恰當的例子，比如傳輸一個矩形波，我給它傅立葉級數求出來，然後只是傳輸這些係數，到接收端那邊在加上相應的sin函式，就可以得到矩形波了，當然實際中我認為這個求係數的系統是很複雜的，還不如直接傳輸經濟。這也是我想到了，影象的壓縮，有所謂的標準，以我現在的感覺，也應該是一種變換，當然還有其他的技術。

數字訊號只說了

Z變換和離散傅立葉變換，我就是感覺這些是相對重要地，當然還有很多東西，但是那些應該都不是很難理解，所以我都沒有過多涉及。比如說相關卷積啊，為什麼會有FFF啊，圓周相關啊等等吧！！寫到這裡感覺還有好多東西沒有寫出來。如果全寫出來，太多了。好多東西需要自己獨立思考，那樣記憶深刻，但是一本好書和好老師我認為都是很重要的，引導作用。