拓撲排序(Topological Sorting)

在圖論中，由一個有向無環圖的頂點組成的序列，當且僅當滿足下列條件時，稱為該圖的一個拓撲排序：

• 每個頂點出現且只出現一次；
• 若A在序列中排在B的前面，則在圖中不存在從B到A的路徑。

用頂點表示活動，用弧表示活動之間的優先關係，這樣的有向圖為頂點表示活動的網，稱為AOV網（Activity On Vertex Network）。
另外，AOV網是一種有向無迴路的圖。那麼，每個AOV網都至少存在一個拓撲排序。

拓撲排序演算法

對AOV網進行拓撲排序的基本思路如下：

• 從AOV網中選擇一個入度為0的頂點輸出
• 刪除此頂點，並刪除以此頂點為尾的弧（更新頂點入度）
• 繼續重複前面兩個步驟，直到全部定點輸出

大概流程圖如下圖所示：

演算法實現

/**
 * @description 拓撲排序演算法（TopologicalSort）
 *          輸入：領接表表示的有向圖
 *          輸出：若圖無迴路，則輸出拓撲排序序列並返回OK
 *                若圖有迴路，則返回ERROR.     
 * @author  GongchuangSu
 * @since   2016.04.19
 * @version v1.0
 */
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
import
 
 java.util.Stack;

public class TopologicalSort {
    Stack < Integer > stack; // 用於儲存入度為0的頂點的下標
    Queue < Integer > queue; // 用於儲存拓撲排序結果
    int vlen;                // 頂點個數
    int[] indegree;          // 入度陣列
    int count;               // 統計輸出頂點個數

    public String topologicalSort(ListDG listDG) {
        stack = new
 
 Stack < Integer > ();
        queue = new LinkedList < Integer > ();
        this.vlen = listDG.vlen;
        indegree = new int[vlen];

        // 統計每個頂點的入度數
        for (int i = 0; i < vlen; i++) {
            ListDG.EdgeNode edgeNode = new ListDG.EdgeNode();
            edgeNode = listDG.vertexNodeList[i].firstedge;
            while (edgeNode != null) {
                indegree[edgeNode.adjvex]++;
                edgeNode = edgeNode.next;
            }
        }

        // 將入度為0的頂點入棧
        for (int i = 0; i < vlen; i++) {
            if (indegree[i] == 0)
                stack.push(i);
        }

        while (!stack.isEmpty()) {
            int top = stack.pop(); // 出棧
            queue.offer(top);
            count++;               // 統計輸出頂點個數
            ListDG.EdgeNode edgeNode = new ListDG.EdgeNode();
            edgeNode = listDG.vertexNodeList[top].firstedge;
            while (edgeNode != null) {
                indegree[edgeNode.adjvex]--;        // 與此頂點連線的各頂點入度減1
                if (indegree[edgeNode.adjvex] == 0) // 判斷連線頂點的入度是否為0，若為0，則入棧
                    stack.push(edgeNode.adjvex);
                edgeNode = edgeNode.next;
            }
        }

        // 判斷是否存在環
        if (count != vlen) {
            System.out.print("Graph has a cycle.\n");
            return "Error";
        } else {
            System.out.print(queue);
            return "OK";
        }
    }
}

原始碼下載：拓撲排序

時間複雜度

對於一個具有n個頂點e條弧的AOV網來說，將入度為0的頂點入棧的時間複雜度為O(n)，之後，每個頂點進一次棧，出一次棧，入度減1的操作共執行了e次，則整個演算法的時間複雜度為O(n+e)。