最小生成樹——Kruskal演算法和Prim演算法
阿新 • • 發佈：2019-01-25
關於圖的幾個概念定義：
- 連通圖：在無向圖中，若任意兩個頂點vi” role=”presentation”>vivi都有路徑相通，則稱該無向圖為連通圖。
- 強連通圖：在有向圖中，若任意兩個頂點vi” role=”presentation”>vivi都有路徑相通，則稱該有向圖為強連通圖。
- 連通網：在連通圖中，若圖的邊具有一定的意義，每一條邊都對應著一個數，稱為權；權代表著連線連個頂點的代價，稱這種連通圖叫做連通網。
- 生成樹：一個連通圖的生成樹是指一個連通子圖，它含有圖中全部n個頂點，但只有足以構成一棵樹的n-1條邊。一顆有n個頂點的生成樹有且僅有n-1條邊，如果生成樹中再新增一條邊，則必定成環。
- 最小生成樹：在連通網的所有生成樹中，所有邊的代價和最小的生成樹，稱為最小生成樹。
下面介紹兩種求最小生成樹演算法
1.Kruskal演算法
此演算法可以稱為“加邊法”，初始最小生成樹邊數為0，每迭代一次就選擇一條滿足條件的最小代價邊，加入到最小生成樹的邊集合裡。
1. 把圖中的所有邊按代價從小到大排序；
2. 把圖中的n個頂點看成獨立的n棵樹組成的森林；
3. 按權值從小到大選擇邊，所選的邊連線的兩個頂點ui,vi” role=”presentation”>ui,viui,vi,應屬於兩顆不同的樹，則成為最小生成樹的一條邊，並將這兩顆樹合併作為一顆樹。
4. 重複(3),直到所有頂點都在一顆樹內或者有n-1條邊為止。
2.Prim演算法
此演算法可以稱為“加點法”，每次迭代選擇代價最小的邊對應的點，加入到最小生成樹中。演算法從某一個頂點s開始，逐漸長大覆蓋整個連通網的所有頂點。
- 圖的所有頂點集合為V” role=”presentation”>VV;
- 在兩個集合u,v” role=”presentation”>u,vu,v併入到集合u中。
- 重複上述步驟，直到最小生成樹有n-1條邊或者n個頂點為止。
由於不斷向集合u中加點，所以最小代價邊必須同步更新；需要建立一個輔助陣列closedge,用來維護集合v中每個頂點與集合u中最小代價邊資訊，：
struct
{
char - 1
- 2
- 3
- 4
- 5
3.完整程式碼
/************************************************************************
CSDN 勿在浮沙築高臺 http://blog.csdn.net/luoshixian099演算法導論--最小生成樹（Prim、Kruskal）2016年7月14日
************************************************************************/
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define INFINITE 0xFFFFFFFF
#define VertexData unsigned int //頂點資料
#define UINT unsigned int
#define vexCounts 6 //頂點數量
char vextex[] = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F' };
struct node
{
VertexData data;
unsigned int lowestcost;
}closedge[vexCounts]; //Prim演算法中的輔助資訊
typedef struct
{
VertexData u;
VertexData v;
unsigned int cost; //邊的代價
}Arc; //原始圖的邊資訊
void AdjMatrix(unsigned int adjMat[][vexCounts]) //鄰接矩陣表示法
{
for (int i = 0; i < vexCounts; i++) //初始化鄰接矩陣
for (int j = 0; j < vexCounts; j++)
{
adjMat[i][j] = INFINITE;
}
adjMat[0][1] = 6; adjMat[0][2] = 1; adjMat[0][3] = 5;
adjMat[1][0] = 6; adjMat[1][2] = 5; adjMat[1][4] = 3;
adjMat[2][0] = 1; adjMat[2][1] = 5; adjMat[2][3] = 5; adjMat[2][4] = 6; adjMat[2][5] = 4;
adjMat[3][0] = 5; adjMat[3][2] = 5; adjMat[3][5] = 2;
adjMat[4][1] = 3; adjMat[4][2] = 6; adjMat[4][5] = 6;
adjMat[5][2] = 4; adjMat[5][3] = 2; adjMat[5][4] = 6;
}
int Minmum(struct node * closedge) //返回最小代價邊
{
unsigned int min = INFINITE;
int index = -1;
for (int i = 0; i < vexCounts;i++)
{
if (closedge[i].lowestcost < min && closedge[i].lowestcost !=0)
{
min = closedge[i].lowestcost;
index = i;
}
}
return index;
}
void MiniSpanTree_Prim(unsigned int adjMat[][vexCounts], VertexData s)
{
for (int i = 0; i < vexCounts;i++)
{
closedge[i].lowestcost = INFINITE;
}
closedge[s].data = s; //從頂點s開始
closedge[s].lowestcost = 0;
for (int i = 0; i < vexCounts;i++) //初始化輔助陣列
{
if (i != s)
{
closedge[i].data = s;
closedge[i].lowestcost = adjMat[s][i];
}
}
for (int e = 1; e <= vexCounts -1; e++) //n-1條邊時退出
{
int k = Minmum(closedge); //選擇最小代價邊
cout << vextex[closedge[k].data] << "--" << vextex[k] << endl;//加入到最小生成樹
closedge[k].lowestcost = 0; //代價置為0
for (int i = 0; i < vexCounts;i++) //更新v中頂點最小代價邊資訊
{
if ( adjMat[k][i] < closedge[i].lowestcost)
{
closedge[i].data = k;
closedge[i].lowestcost = adjMat[k][i];
}
}
}
}
void ReadArc(unsigned int adjMat[][vexCounts],vector<Arc> &vertexArc) //儲存圖的邊代價資訊
{
Arc * temp = NULL;
for (unsigned int i = 0; i < vexCounts;i++)
{
for (unsigned int j = 0; j < i; j++)
{
if (adjMat[i][j]!=INFINITE)
{
temp = new Arc;
temp->u = i;
temp->v = j;
temp->cost = adjMat[i][j];
vertexArc.push_back(*temp);
}
}
}
}
bool compare(Arc A, Arc B)
{
return A.cost < B.cost ? true : false;
}
bool FindTree(VertexData u, VertexData v,vector<vector<VertexData> > &Tree)
{
unsigned int index_u = INFINITE;
unsigned int index_v = INFINITE;
for (unsigned int i = 0; i < Tree.size();i++) //檢查u,v分別屬於哪顆樹
{
if (find(Tree[i].begin(), Tree[i].end(), u) != Tree[i].end())
index_u = i;
if (find(Tree[i].begin(), Tree[i].end(), v) != Tree[i].end())
index_v = i;
}
if (index_u != index_v) //u,v不在一顆樹上，合併兩顆樹
{
for (unsigned int i = 0; i < Tree[index_v].size();i++)
{
Tree[index_u].push_back(Tree[index_v][i]);
}
Tree[index_v].clear();
return true;
}
return false;
}
void MiniSpanTree_Kruskal(unsigned int adjMat[][vexCounts])
{
vector<Arc> vertexArc;
ReadArc(adjMat, vertexArc);//讀取邊資訊
sort(vertexArc.begin(), vertexArc.end(), compare);//邊按從小到大排序
vector<vector<VertexData> > Tree(vexCounts); //6棵獨立樹
for (unsigned int i = 0; i < vexCounts; i++)
{
Tree[i].push_back(i); //初始化6棵獨立樹的資訊
}
for (unsigned int i = 0; i < vertexArc.size(); i++)//依次從小到大取最小代價邊
{
VertexData u = vertexArc[i].u;
VertexData v = vertexArc[i].v;
if (FindTree(u, v, Tree))//檢查此邊的兩個頂點是否在一顆樹內
{
cout << vextex[u] << "---" << vextex[v] << endl;//把此邊加入到最小生成樹中
}
}
}
int main()
{
unsigned int adjMat[vexCounts][vexCounts] = { 0 };
AdjMatrix(adjMat); //鄰接矩陣
cout << "Prim :" << endl;
MiniSpanTree_Prim(adjMat,0); //Prim演算法，從頂點0開始.
cout << "-------------" << endl << "Kruskal:" << endl;
MiniSpanTree_Kruskal(adjMat);//Kruskal演算法
return 0;
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Reference:
資料結構–耿國華
演算法導論–第三版