反函式存在性定理

若函式 y=f(x),x∈Df 是嚴格單調增加（減少）的，則存在它的反函式
x=f−1(y):Rf→X， 並且 f−1(y) 也是嚴格單調增加（減少）的。

證明：

不妨設 y=f(x),x∈Df 嚴格單調增加， 可知 ∀x1,x2∈Df,x1<x2⇒f(x1)<f(x2)， 所以 ∀x1,x2∈Df,f(x1)=f(x2)⇒x1=x2， 所以存在反函式 f−1(y),y∈Rf。
∀y1,y2∈Df−1=Rf, 設 x1=f−1(y1), x2=f−1(y2), 則 y1=y2⇒x1=x2, 否則
(1) x1<x2⇒y1=f(x1)<

f(x2)=y2,
(2) x1>x2⇒y1=f(x1)>f(x2)=y2，
因此 f−1(y) 也是嚴格單調增加（減少）的。

反函式連續性定理

設函式 y=f(x) 在閉區間 [a,b] 上連續且嚴格單調增加，f(a)=α,f(b)=β, 則它的反函式 x=f−1(y) 在 [α,β] 上連續且嚴格單調增加。

證明：

1. 首先證明 Rf=f[a,b]=[α,β]：
   1.1 由於 f(x) 嚴格單調增加， 因此 Rf⊆[f(a),f(b)]=[α,β]。
   1.2 顯然 α,β∈f([a,b])。 ∀γ∈(α,β), 令 S={x|x∈[a,b],f(x)<
   γ}, 則 集合 S 非空有上界， 由確界存在定理， S 必有上確界， 記 x0=sup

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