ACM大數之間求最大公約數
寫一個程式，求兩個正整數的最大公約數。如果兩個正整數都很大，有什麼簡單的演算法嗎？
分析與解法
求最大公約數是一個很基本的問題。早在公元前300年左右，歐幾里得就在他的著作《幾何原本》中給出了高效的解法——輾轉相除法。輾轉相除法使用到的原理很聰明也很簡單，假設用f（x, y）表示x，y的最大公約數，取k = x/y，b = x%y，則x = ky + b，如果一個數能夠同時整除x和y，則必能同時整除b和y；而能夠同時整除b和y的數也必能同時整除x和y，即x和y的公約數與b和y的公約數是相同的，其最大公約數也是相同的，則有f（x, y）= f（y, y % x）（y > 0），如此便可把原問題轉化為求兩個更小數的最大公約數，直到其中一個數為0，剩下的另外一個數就是兩者最大的公約數。輾轉相除法更詳細的證明可以在很多的初等數論相關書籍中找到，或者讀者也可以試著證明一下。
示例如下：
f（42, 30）=f（30, 12）= f（12, 6）=f（6, 0）= 6
【解法一】
最簡單的實現，就是直接用程式碼來實現輾轉相除法。從上面的描述中，我們知道，利用遞迴就能夠很輕鬆地把這個問題完成。
具體程式碼如下：
int gcd(int x, int y)
{
return (!y)?x:gcd(y, x%y);
}
【解法二】
在解法一中，我們用到了取模運算。但對於大整數而言，取模運算（其中用到除法）是非常昂貴的開銷，將成為整個演算法的瓶頸。有沒有辦法能夠不用取模運算呢？
採用類似前面輾轉相除法的分析，如果一個數能夠同時整除x和y，則必能同時整除x-y和y；而能夠同時整x-y和y的數也必能同時整除x和y，即x和y的公約數與x-y和y的公約數是相同的，其最大公約數也是相同的，即f（x, y）= f（x-y, y），那麼就可以不再需要進行大整數的取模運算，而轉換成簡單得多的大整數的減法。
在實際操作中，如果x<y，可以先交換（x, y）（因為（x, y）=（y, x）），從而避免求一個正數和一個負數的最大公約數情況的出現。一直迭代下去，直到其中一個數為0。
示例如下：
f（42, 30）=f（30, 12）=f（12, 18）= f（18, 12）= f（12, 6）= f（6, 6）= f（6, 0）= 6
解法二的具體程式碼如下：
程式碼清單2-15
BigInt gcd(BigInt x, BigInt y)
{
if(x < y)
return gcd(y, x);
if(y == 0)
return x;
else
return gcd(x - y, y);
}
程式碼中BigInt是讀者自己實現的一個大整數類（所謂大整數當然可以是成百上千位），那麼就要求讀者過載該大整數類中的減法運算子“-”，關於大整數的具體實現這裡不再贅述，若讀者只是想驗證該演算法的正確性，完全可使用系統內建的int型來測試。
這個演算法，免去了大整數除法的繁瑣，但是同樣也有不足之處。最大的瓶頸就是迭代的次數比之前的演算法多了不少，如果遇到（10 000 000 000 000, 1）這類情況，就會相當地令人鬱悶了。
【解法三】
解法一的問題在於計算複雜的大整數除法運算，而解法二雖然將大整數的除法運算轉換成了減法運算，降低了計算的複雜度，但它的問題在於減法的迭代次數太多，那麼能否結合解法一和解法二從而使其成為一個最佳的演算法呢？答案是肯定的。
首先從分析公約數的特點入手：
對於y和x來說，如果y=k * y1，x=k * x1。那麼有f（y, x）= k * f（y1, x1）。
另外，如果x = p * x1，假設p是素數，並且y % p ! = 0（即y不能被p整除），那麼f（x, y）= f（p * x1, y）= f（x1, y）。
注意到以上兩點之後，我們就可以利用這兩點對演算法進行改進。
最簡單的方法是，我們知道，2是一個素數，同時對於二進位制表示的大整數而言，可以很容易地將除以2和乘以2的運算轉換成移位運算，從而避免大整數除法，由此就可以利用2這個數字來進行分析。
取p = 2
若x, y均為偶數，f（x, y）= 2 * f（x/2, y/2）= 2 * f（x>>1, y>>1）
若x為偶數，y為奇數，f（x, y）= f（x/2, y）= f（x>>1, y）
若x為奇數，y為偶數，f（x, y）= f（x, y/2）= f（x, y>>1）
若x, y均為奇數，f（x, y）= f（x, x - y），
那麼在f（x, y）= f（x, x - y）之後，（x - y）是一個偶數，下一步一定會有除以2的操作。
因此，最壞情況下的時間複雜度是O（log2（max（x, y））。
考慮如下的情況：
f（42, 30）= f（1010102, 111102）
= 2 * f（101012, 11112）
= 2 * f（11112, 1102）
= 2 * f（11112, 112）
= 2 * f（11002, 112）
= 2 * f（112, 112）
= 2 * f（02, 112）
= 2 * 112
= 6
根據上面的規律，具體程式碼實現如下：
程式碼清單2-16
BigInt gcd(BigInt x, BigInt y)
{
if(x < y)
return gcd(y, x);
if(y == 0)
return x;
else
{
if(IsEven(x))
{
if(IsEven(y))
return (gcd(x >> 1, y >> 1) << 1);
else
return gcd(x >> 1, y);
}
else
{
if(IsEven(y))
return gcd(x, y >> 1);
else
return gcd(y, x - y);
}
}
}
BigInt見解法二中的解釋，IsEven（BigInt x）函式檢查x是否為偶數，如果x為偶數，則返回true，否則返回false。
解法三很巧妙地利用移位運算和減法運算，避開了大整數除法，提高了演算法的效率。程式設計師常常將移位運算作為一種技巧來使用，最常見的就是通過左移或右移來實現乘以2或除以2的操作。其實移位的用處遠不止於此，如求一個整數的二進位制表示中1的個數問題（見本書2.1節“求二進位制數中1的個數”）和逆轉一個整數的二進位制表示問題等，往往讓人拍案叫絕