動態規劃之矩陣路徑問題
阿新 • • 發佈:2019-01-26
給定一個二維陣列map,含義是一張地圖,如下矩陣。
-2 -3 3
-5 -10 1
0 30 -5
騎士從左上角出發,每次只能向右或者向下走,最後到達右下角見到公主。地圖每個位置如果是負數,騎士損失血量,如果是正數,騎士增加血量。其實走到任何一個位置血量都不能少一1。問騎士出發最低血量。
這是最小路徑和的一個變形問題,首先按照最小路徑和的思路來解決試試。
/* 龍與地下城問題使用動態規劃方法,dp[i][j]代表走到m[i][j]的最低血量是多少。
不過這個動態規劃有點逆向思維,不能按常規順序,從dp陣列的左上角出發。一下是從左上角出發
的程式碼打印出來的矩陣。
*/
dp陣列輸出結果public int minHP(int [][] m){ if(m==null||m.length==0||m[0]==null||m[0].length==0){ return 1; } int row = m.length; int col = m[0].length; int dp[][] = new int[row][col]; dp[0][0]=m[0][0]; for(int i = 1;i<col;i++){ dp[0][i]=dp[0][i-1]+m[0][i]; } for(int i=1;i<row;i++){ dp[i][0]=dp[i-1][0]+m[i][0]; } for(int i = 1; i<col; i++){ for(int j = 1; j<row; j++){ dp[i][j]+=Math.max(dp[i-1][j]+m[i][j],dp[i][j-1]+m[i][j]); } } for(int i = 0;i<row;i++){ for(int j = 0;j<col;j++){ System.out.print(" " + dp[i][j]); } System.out.println(); } return dp[row-1][col-1]>=0?0:(dp[row-1][col-1])*-1; }
-2 -5 -2
-7 -15 -1
-7 23 18
public int minHPshu(int [][] m){ if(m==null||m.length==0||m[0]==null||m[0].length==0){ return 1; } int row = m.length; int col = m[0].length; int dp[][] = new int[row--][col--]; dp[row][col]=m[row][col]>0?1:-m[row][col]+1; for(int j= col-1;j>=0;j--){ // 先算出最後一行的值,這是動態規劃的基本思路,先算出第一行或是第一列的值 dp[row][j] = Math.max(dp[row][j+1]-m[row][j],1); } int right = 0; int down = 0; for(int i=row-1;i>=0;i--){ // 隨著遍歷逐漸算出最後一列的數,寫在此處可以節省一個單獨的for迴圈 dp[i][col]=Math.max(dp[i+1][col]-m[i][col],1); for(int j=col-1;j>=0;j--){ //以下兩行為動態規劃的核心程式碼 right=Math.max(dp[i][j+1]-m[i][j], 1); down=Math.max(dp[i+1][j]-m[i][j], 1); dp[i][j]=Math.min(right, down); } } //遍歷2維陣列 for(int i = 0;i<row+1;i++){ for(int j = 0;j<col+1;j++){ System.out.print(" " + dp[i][j]); } System.out.println(); } return dp[0][0]; }
列印dp:
7 5 2
6 11 5
1 1 6
所以一目瞭然可以dp[0][0]即為所求。
以上為普通的動態規劃,時間複雜度為O(M*N) 兩層for迴圈巢狀的複雜度為O(M*N), 額外空間複雜度為O(M*N)。當然這絕對不是最好的,空間壓縮之後可以把額外空間複雜度降至O(min{M,N})。程式碼如下,對比即可看出與不用空間壓縮的不同:
public int minHPshuYouhua(int [][] m){ if(m==null||m.length==0||m[0]==null||m[0].length==0){ return 1; } int row = m.length; int col = m[0].length; int more = Math.max(row, col); int less = Math.min(row, col); boolean rowMore = row > col? true : false; int dp[] = new int[less]; dp[less-1]=m[row-1][col-1]>0?1:-m[row-1][col-1]+1; for(int j= less-2;j>=0;j--){ // 先算出最後一行的值,這是動態規劃的基本思路,先算出第一行或是第一列的值 // 空間壓縮之後需要重新動態定位行號與列號 row = rowMore ? more -1:j; col = rowMore ? j : more -1; dp[j] = Math.max(dp[j+1]-m[row][col],1); } int right = 0; int down = 0; for(int i=more-2;i>=0;i--){ // 隨著遍歷逐漸算出最後一列的數,寫在此處可以節省一個單獨的for迴圈 row = rowMore?i : more-1; col = rowMore?more-1:i; dp[less-1]=Math.max(dp[less-1]-m[row][col],1); for(int j=less-2;j>=0;j--){ //以下兩行為動態規劃的核心程式碼 //以下兩行為壓縮前 作比較 /*right=Math.max(dp[i][j+1]-m[i][j], 1); down=Math.max(dp[i+1][j]-m[i][j], 1);*/ right=Math.max(dp[j+1]-m[i][j], 1); //壓縮後重新重新整理dp的值 down=Math.max(dp[j]-m[i][j], 1); dp[j]=Math.min(right, down); } } return dp[0]; }