概述

PageRank的Page可是認為是網頁，表示網頁排名，也可以認為是Larry Page(google 產品經理)，因為他是這個演算法的發明者之一，還是google CEO。PageRank演算法計算每一個網頁的PageRank值，然後根據這個值的大小對網頁的重要性進行排序。

演算法思想

• 如果一個網頁被很多其他網頁連結到的話說明這個網頁比較重要，也就是PageRank值會相對較高
• 如果一個PageRank值很高的網頁連結到一個其他的網頁，那麼被連結到的網頁的PageRank值會相應地因此而提高
• 模擬一個悠閒的上網者，上網者首先隨機選擇一個網頁開啟，然後在這個網頁上呆了幾分鐘後，跳轉到該網頁所指向的連結，這樣無所事事、漫無目的地在網頁上跳來跳去，PageRank就是估計這個悠閒的上網者分佈在各個網頁上的概率。

Pagerank模型

網際網路中的網頁可以看出是一個有向圖，其中網頁是結點，如果網頁A有連結到網頁B，則存在一條有向邊A->B，下面是一個簡單的示例

根據上圖，我們可以得到一個轉移概率矩陣。例如使用者當前在A網頁，那麼使用者將各以三分之一的概率跳轉到B,C,D網頁。轉移矩陣M$M$如下,每一列的和為1

page	A	B	C	D
A	0	1/2	1	0
B	1/3	0	0	1/2
C	1/3	0	0	1/2
D	1/3	1/2	0	0

初始時，假設上網者在每個網頁的概率是相等的，即

1/n$1/n$, 於是初始概率分佈就是所有值都為1/n$1/n$的nwei維向量V0$V_0$,可以通過如下方式進行迭代

V1=MV0=⎡⎣⎢⎢⎢⎢01/31/31/31/2001/2100001/21/20⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢1/41/41/41/4⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢3/92/92/92/9⎤⎦⎥⎥⎥⎥$V_1=M{V}_0=\left[\begin{array}{cccc}0& 1/2& 1& 0\\ 1/3& 0& 0& 1/2\\ 1/3& 0& 0& 1/2\\ 1/3& 1/2& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1/4\\ 1/4\\ 1/4\\ 1/4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3/9\\ 2/9\\ 2/9\\ 2/9\end{array}\right]$

Vi=MVi−1$V_i=M{V}_{i-1}$
不斷的迭代計算，直到|Vi+1−Vi|<ϵ$|V_{i+1}-V_i|<ϵ$，Vi$V_i$不再變化為止。最終會收斂到一個恆定值，得到各個網頁訪問的概率
上述上網者的行為是一個馬爾科夫過程的例項，要滿足收斂性，需要具備一個條件：圖是強連通的，即從任意網頁可以到達其他任意網頁

常見問題

• 終止點問題：網際網路上的網頁不滿足強連通的特性，因為有一些網頁不指向任何網頁，如果按照上面的計算，上網者到達這樣的網頁後便走投無路、四顧茫然，導致前面累計得到的轉移概率被清零，這樣下去，最終的得到的概率分佈向量所有元素幾乎都為0
• 陷阱問題：另外一個問題就是陷阱問題，即有些網頁不存在指向其他網頁的連結，但存在指向自己的連結

Pagerank模型的完善

假定上網者在每一步，都可能不想看當前網頁了，而是在位址列輸入另外一個地址，而位址列跳轉到各個網頁的概率是1/n$1/n$。假設上網者每一步檢視當前網頁的概率是α$\alpha$,從位址列跳轉的概率是1−α$1-\alpha$。alpha一般取0.85,迭代公式如下:
Vi+1=αMVi+(1−α)e$V_{i+1}=\alpha M{V}_i+(1-\alpha )e$
重新計算第一步的迭代如下：
V1=αMV0+(1−α)e=0.85∗⎡⎣⎢⎢⎢⎢01/31/31/31/2001/210000