加一點自己理解

編輯距離概念描述：

編輯距離，又稱Levenshtein距離，是指兩個字串之間，由一個轉成另一個所需的最少編輯操作次數。許可的編輯操作包括將一個字元替換成另一個字元，插入一個字元，刪除一個字元。

例如將kitten一字轉成sitting：

1. sitten （k→s）
2. sittin （e→i）
3. sitting （→g）

俄羅斯科學家Vladimir Levenshtein在1965年提出這個概念。

問題：找出字串的編輯距離，即把一個字串s1最少經過多少步操作變成程式設計字串s2，操作有三種，新增一個字元，刪除一個字元，修改一個字元

解析：

首先定義這樣一個函式——edit(i, j)，它表示第一個字串的長度為i的子串到第二個字串的長度為j的子串的編輯距離。

顯然可以有如下動態規劃公式：

• if i == 0 且 j == 0，edit(i, j) = 0
• if i == 0 且 j > 0，edit(i, j) = j
• if i > 0 且j == 0，edit(i, j) = i
• if i ≥ 1  且 j ≥ 1 ，edit(i, j) == min{ edit(i-1, j) + 1, edit(i, j-1) + 1, edit(i-1, j-1) + f(i, j) }，當第一個字串的第i個字元不等於第二個字串的第j個字元時，f(i, j) = 1；否則，f(i, j) = 0。

 計算edit(1, 1)，edit(0, 1) + 1 == 2，edit(1, 0) + 1 == 2，edit(0, 0) + f(1, 1) == 0 + 1 == 1，min(edit(0, 1)，edit(1, 0)，edit(0, 0) + f(1, 1))==1，因此edit(1, 1) == 1。 依次類推：

edit(2, 1) + 1 == 3，edit(1, 2) + 1 == 3，edit(1, 1) + f(2, 2) == 1 + 0 == 1，其中s1[2] == 'a' 而 s2[1] == 'f'‘，兩者不相同，所以交換相鄰字元的操作不計入比較最小數中計算。以此計算，得出最後矩陣為：

 狀態轉移，從edit(i, j) 三個方向轉來

edit(i-1, j) + 1, edit(i, j-1) + 1 表示插入或刪除一個字元

edit(i-1, j-1) + f(i, j)  f(i,j)=0  表示不替換 f(i,j)=1表示替換1次

算是一個DP例項

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
const int N=1e3+5;
int dp[N][N];
char str1[N],str2[N];
int main()
{
    int len1,len2;
    while(scanf("%s%s",str1,str2)!=EOF){
        len1=strlen(str1);
        len2=strlen(str2);
        for(int i=0;i<=len1;i++){
            dp[i][0]=i;
        }
        for(int i=0;i<=len2;i++){
            dp[0][i]=i;
        }
        for(int i=1;i<=len1;i++){
            for(int j=1;j<=len2;j++){
                dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+1,dp[i][j-1]+1);
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+(str1[i-1]!=str2[j-1]));
            }
        }
        for(int i=0;i<=len1;i++){
            for(int j=0;j<=len2;j++){
                printf("%d ",dp[i][j]);
            }
            puts("");
        }
        printf("%d\n",dp[len1][len2]);
    }
    return 0;
}

我們來看一個實際應用。現代搜尋技術的發展很多以提供優質、高效的服務作為目標。比如說：baidu、google、sousou等知名全文搜尋系統。當我們輸入一個錯誤的query="Jave" 的時候，返回中有大量包含正確的拼寫 "Java"的網頁。當然這裡面用到的技術絕對不會是我們今天講的怎麼簡單。但我想說的是：字串的相似度計算也是做到這一點的方法之一。

在資訊檢索領域的應用我們在文章開始的時候就提到了。另外，編輯距離在自然語言文字處理領域(NLP)中是計算字串相似度的重要方法。一般而言，對於中文語句的相似度處理，我們很多時候都是將詞作為一個基本操作單位，而不是字(字元)。