uva-10304 Optimal Binary Search Tree（區間dp）
阿新 • • 發佈：2019-01-27
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題意
給一個序列即可 S = (e1,e2,...,en),且e1<e2<..<en.要把這些序列構成一個二叉搜尋樹。二叉搜尋樹是具有遞迴性質的，且若它的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於它的根結點的值； 若它
的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於它的根結點的值。
因為在實際應用中，被訪問頻率越高的元素，就應該越接近根節點，這樣才能更加節省查詢時間。
每個元素有一個訪問頻率f(ei)，當元素位於深度為k的地方，那麼花費cost(ei) = k.
所有節點的花費和訪問頻率乘積之和為：
sum = f(e1)*cost(e1) + f(e2)*cost(e2) + ... + f(en)*cost(en)
我們叫sum值最小的二叉搜尋樹為最優二叉搜尋樹。
按順序給出集合序列S，和每個元素的頻率f(ei)，求sum的最小值
思路
因為他題目給的序列是從小到大的，那麼對於這個序列的任意一個ei,設ei為根節點，我們可以知道在序列中ei左邊的所有數會構成ei的左子樹，ei的右邊的所有數會構成
ei的右子樹。
那麼我們就可以列舉根節點，然後選擇值最小的一種方案。
說到這裡，再結合題目的資料範圍，那麼很容易可以想到就是區間dp了！
設f(i, j)表示序列區間(i, j)的數構成的一棵最優二叉查詢樹的值，
當列舉根節點ek時，它的左子樹(wi,wi+1,..,wk-1)的所有節點的深度都會增加1,
那麼左子樹增加sum(w1,w2,...wk-1)
右子樹(ek+1, ek+2,..ej)的值也會增加sum(ek+1,ek+2,...,ej).
可以看出，那麼總共會增加sum(i, j) - wk
那麼就可以推出狀態轉移了：
f(i, j) = min{ f(i,k-1)+f(k+1,j)+sum(i, j) - wk | i<=k<=j}