這裡是《神經網路與機器學習》第三章的筆記…
最小均方演算法，即Least-Mean-Square，LMS。其提出受到感知機的啟發，用的跟感知機一樣的線性組合器。
在意義上一方面LMS曾被用在了濾波器上，另一方面對於LMS的各種最優化方式為反向傳播演算法提供了思想基礎。

於是這章書主要是簡單介紹LMS演算法的原理，並介紹幾個簡單的最優化方法，然後用物理熱力學原理描述LMS演算法的學習過程（這個部分太過高深只好跳過）

LMS濾波結構

原理上跟感知機也差不多，也是對包含一組共M個元素的x1,x2,...,xM的輸入用一個線性組合器處理，也就是對其進行加權求和，得出結果y，與期望響應d相比較，獲得誤差訊號e

，並由此修正權值，如下圖：

這裡比感知機還要簡單的，直接將區域性誘導域v作為輸出y。因此可以表述成：

y(i)=w1(i)x1(i)+w2(i)x2(i)+...+wM(i)xM(i)=∑k=1Mwk(i)xk(i)

或者寫成向量的形式：

y(i)=x(i)Tw(i)
w(i)即權值向量[w1(i),w2(i),...,wM(i)]T，i表示迭代次數。
誤差訊號為期望響應跟輸出的差，即：e(i)=d(i)−y(i)

無約束最優化問題

LMS演算法的目標就是找到一組權值向量，使其輸出響應跟期望響應最接近。

設立一個代價函式E(w)，其對權值向量連續可微，用來描述輸出響應跟期望響應的差距，也就是值越小越好。於是我們的目標就是醬紫：
找到一個最優的權值向量w

∗，對於任何w都有：

E(w∗)≤E(w)
這是一個無約束最優化問題。其解決的一個必要條件就是∇E(w)=0。
也就是：[∂E∂w1,∂E∂w2,...,∂E∂wM]T=0

一般的解決方法是從一個初始權值向量w(0)開始，不斷迭代產生新的權值向量w(i)，對於每一個權值向量其代價函式都要小於上一個的代價函式，即E(w(i))<E(w(i−1))，如此往復直到代價函式足夠小為止。或者說在一個M維的空間裡，從一個點出發，不停地往代價函式減小的方向走，直到走到最低點。

最速下降法

也就是反向傳播演算法梯度下降的基本原理，在每一個位置w(i)求出當前位置的代價函式的梯度g(i)，再沿著梯度的反方向（正方向使代價函式增加）移動一段距離成為w

(i+1)，也就是每次都順著坡最陡的方向往下走一步。
梯度即為代價函式對權值向量的每一個元素求偏導：

g=∇E(w)=∂E∂w
權值向量的修正為：w(i+1)=w(i)−ηg(i)
η為一個標量，稱為步長或學習率引數，可以理解為沿著梯度方向走的一步的大小。

理論上來說學習率引數η在足夠小的時候，才能完全保證權值向量的修正是讓代價函式一步比一步小的。但是η太小又會導致收斂速度過慢。

定義代價函式：

E(w)=12∑i=1N(di−yi)2=12∑i=1N(di−wTxi)2
那麼就有：g=∂(12∑i=1

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