傳統陣列(共n個元素)的元素修改和連續元素求和的複雜度分別為O(1)和O(n)。樹狀陣列通過將線性結構轉換成偽樹狀結構（線性結構只能逐個掃描元素，而樹狀結構可以實現跳躍式掃描），使得修改和求和複雜度均為O(lgn)，大大提高了整體效率。

給定序列（數列）A，我們設一個數組C滿足

C[i] = A[i–2^k+ 1] + … + A[i]

其中，k為i在二進位制下末尾0的個數，i從1開始算！

則我們稱C為樹狀陣列。

下面的問題是，給定i，如何求2^k?

答案很簡單：2^k=i&(i^(i-1)) ，也就是i&(-i)    為什麼呢？？ 請看下面：

整數運算 x&(-x)，當x為0時結果為0；x為奇數時，結果為1；x為偶數時，結果為x中2的最大次方的因子。
       因為：x &(-x) 就是整數x與其相反數（負號取反）的按位與：1&1=1,0&1 =0, 0&0 =1。具體分析如下：
       □ 當x為0時，x&(-x) 即 0 & 0，結果為0；
       □ 當x不為0時，x和-x必有一個為正。不失一般性，設x為正。
       ●當x為奇數時，最後一個位元為1，取反加1沒有進位，故x和-x除最後一位外前面的位正好相反，按位與結果為0。最後一位都為1，故結果為       1。
       ●當x為偶數，且為2的m次方（m>0）時，x的二進位制表示中只有一位是1（從右往左的第m+1位），其右邊有m位0，左邊也都是0（個數由表示   x的字        節數決定），故x取反加1後，從右到左第有m個0，第m+1位及其左邊全是1。這樣，x& (-x) 得到的就是x。 
       ●當x為偶數，卻不為2的m次方的形式時，可以寫作x= y * (2^k)。其中，y的最低位為1。實際上就是把x用一個奇數左移k位來表示。這時，x的   二進位制         表示最右邊有k個0，從右往左第k+1位為1。當對x取反時，最右邊的k位0變成1，第k+1位變為0；再加1，最右邊的k位就又變成了0，第   k+1位因為進         位的關係變成了1。左邊的位因為沒有進位，正好和x原來對應的位上的值相反。二者按位與，得到：第k+1位上為1，左邊右邊都為   0。結果為2^k，即         x中包含的2的最大次方的因子。
        總結一下：x&(-x)，當x為0時結果為0；x為奇數時，結果為1；x為偶數時，結果為x中2的最大次方的因子。 比如x=32，其中2的最大次方因子  為                 2^5，故x&(-x)結果為32；當x=28，其中2的最大次方因子為4，故x & (-x)結果為4。當x=24，其中2的最大次方因子為8,故 x&(-x)結果為  8。

下面進行解釋：

以i=6為例（注意：a_x表示數字a是x進製表示形式）：

(i)_10 = (0110)_2

(i-1)_10=(0101)_2

i xor (i-1) =(0011)_2

i and (i xor (i-1))  =(0010)_2

2^k = 2

C[6] = C[6-2+1]+…+A[6]=A[5]+A[6]

陣列C的具體含義如下圖所示：

當我們修改A[i]的值時，可以從C[i]往根節點一路上溯，調整這條路上的所有C[]即可，這個操作的複雜度在最壞情況下就是樹的高度即O(logn)。另外，對於求數列的前n項和，只需找到n以前的所有最大子樹，把其根節點的C加起來即可。不難發現，這些子樹的數目是n在二進位制時1的個數，或者說是把n展開成2的冪方和時的項數,因此，求和操作的複雜度也是O(logn)。

樹狀陣列能快速求任意區間的和：A[i] + A[i+1] + … + A[j]，設sum(k) = A[1]+A[2]+…+A[k]，則A[i] + A[i+1] + … + A[j] = sum(j)-sum(i-1)。