Wannafly挑戰賽11 B 白兔的式子(盧卡斯定理+費馬小定理求逆元)
阿新 • • 發佈:2019-01-27
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64bit IO Format: %lld
題目描述
已知f[1][1]=1,f[i][j]=a*f[i-1][j]+b*f[i-1][j-1](i >= 2,1<=j<=i)。
對於其他情況f[i][j]=0
有T組詢問,每次給出a,b,n,m,求f[n][m] mod (998244353)
輸入描述:
第一行為一個整數T,表示詢問個數。
接下來一共T行,每行四個整數a,b,n,m。
輸出描述:
一共T行,每行一個整數,表示f[n][m] mod (998244353)
示例1
輸入
2
2 3 3 3
3 1 4 1
輸出
9
27
備註:
T<=100000
1<=m<=n<=100000
0<=a,b<=109
問題分析
lz的第一道盧卡斯定理+費馬小定理QAQ。
首先將其展開會發現f[n][m]就是二項式的係數(a+b)^(n-1)。所以我們利用二項式定理求即可。
f[m][n] %p = (a^(n-m) % p * b(m-1) % p * C(n-1,m-1)) %p。
求a^n自然用快速冪求即可。
ll quickPow(ll a,int n)
{
ll ans = 1 ;
ll res = a;
while(n)
{
if(n&1)
ans = ((ans%mod)*(res%mod))%mod;
res = ((res%mod)*(res%mod))%mod;
n >>= 1;
}
return ans%mod;
}
而組合數%p自然是盧卡斯定理的啦~
//費馬小定理求逆元
ll niYuan(ll a, ll b)
{
return pow_(a,b-2,mod);
}
ll C(ll m, ll n)
{
if (m<0||m<n)
return 0;
//C(m, n) mod p = m!/(n!(m - n)!) mod p因為組合數太大我們用m!乘以(n!(m - n)!)的逆元就好,而求逆元就用費馬小定理
return f[m]*niYuan(f[n],mod)%mod*niYuan(f[m-n],mod)%mod;
}
根據費馬小定理的性質我們可以得到:
已知(a, p) = 1,則 a^p-1 ≡ 1 (mod p), 所以 a*a^(p-2) ≡ 1 (mod p)。
也就是 (m!(n-m)!)的逆元為 (m!(n-m)!)^(p-2) 。
好,接下來是AC code(^_^)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5+10, mod = 998244353;
ll f[N]; //用來預處理打表算階乘
ll quickPow(ll a,int n) //快速冪
{
ll ans = 1;
ll res = a;
while(n)
{
if(n&1)
ans = ((ans%mod)*(res%mod))%mod;
res = ((res%mod)*(res%mod))%mod;
n >>= 1;
}
return ans%mod;
}
ll pow_(ll a, ll n, ll p)
{
ll ans = 1;
ll res = a;
while(n)
{
if(n&1)
ans = ans*res%p;
res = res*res%p;
n >>= 1;
}
return ans;
}
//費馬小定理求逆元
ll niYuan(ll a, ll b)
{
return pow_(a,b-2,mod);
}
ll C(ll m, ll n)
{
if(m<0||m<n)
return 0;
//C(m, n) mod p = m!/(n!(m - n)!) mod p因為組合數太大我們用m!乘以(n!(m - n)!)的逆元就好,而求逆元就用費馬小定理
return f[m]*niYuan(f[n],mod)%mod*niYuan(f[m-n],mod)%mod;
}
void init() //預處理算階乘
{
f[0] = 1;
for(int i = 1; i < N; ++i)
f[i] = f[i-1]*i%mod;
}
int main()
{
// freopen("in.txt","r",stdin);
int t;
init();
cin>>t;
while(t--)
{
ll a,b;
int m,n;
scanf("%lld%lld%d%d",&a,&b,&n,&m);
ll p1 = quickPow(a,n-m);
ll p2 = quickPow(b,m-1);
printf("%lld\n",(((p1%mod)*(p2%mod))%mod)*C(n-1,m-1)%mod);
}
return 0;
}