最近兩個月在做《線性規劃與網路流24題》這套題，加深了對網路流的理解。

涵蓋到的模型有：二分圖匹配、二分圖的最大獨立集、最大權閉合圖、有向無環圖的最小路徑覆蓋、最多不相交路徑、最大權不相交路徑、區間k覆蓋、最短路。第13題涉及到與二分法的結合（其實也可以逐層列舉）。

二分圖匹配

設二分圖G=(V, E)的兩個頂點集為X, Y。

• s->Xi，費用為0，按需賦容量。
• Xi->Yj，(Xi, Yj)屬於E，費用為邊權，按需賦容量。
• Yj->t，費用為0，按需賦容量。
  求（最小費用）最大流。

二分圖的最小覆蓋集

點權之和最小的覆蓋集

• s->Xi，容量為點權。
• Xi->Yj，(Xi, Yj)屬於E，容量為inf。
• Yj->t，容量為點權。
  求最小割，由最大流最小割定理，求解最大流即可。

定義不包含容量為inf的邊的割為簡單割。本網路中，最小割是簡單割。

什麼叫覆蓋集？對於每條邊，其兩端點至少有一個被選中。割的性質是不連通：任何一條s-t路徑上，至少有一條邊屬於割集。這裡所有的s-t路徑由3段構成，中間的Xi->Yj容量為inf，不屬於簡單割。因此，二分圖的覆蓋集和簡單割一一對應。最小割是容量最小的簡單割，也是點權之和最小的覆蓋集。

對於不帶權的二分圖圖，令所有點點權=1。以這種方式我們求出的是其最小覆蓋集，也是其最大匹配。因而，我們證明了König定理：二分圖的最大匹配等於最小覆蓋。

頂點數最多且點權之和儘量大的覆蓋集

• s->Xi，容量為1，費用為點權的相反數。
• Xi->Yj，(Xi, Yj)屬於E，容量為inf，費用為0。
• Yj->t，容量為1，費用為點權的相反數。
  求最小費用最大流。

二分圖的最大獨立集

最小覆蓋集和最大獨立集是互補問題。

覆蓋集：對於每條邊，至少選一個端點，即至多不選一個端點。
獨立集：對於每條邊，至多選一個端點，即至少不選一個端點。

求最大獨立集，等價於求其補集，也就是說每條邊刨出至少一個端點，並且刨出的點的權和最小，這樣才使剩下的最多。|最大獨立集|+|最小覆蓋集|=所有點的權值之和。

最大權閉合圖

設正權點的集合為V+，負權點的集合為V-。

• s->u，u∈V+，容量為點權的絕對值。
• u->v，(u, v)∈E，容量為inf。
• v->t，v∈V-，容量為點權的絕對值。
  求最小割，用正權點減去割的容量即得最大的權。

可行性方面，簡單割和閉合圖一一對應。設簡單割為[S, T]，S-{s}即為閉合圖中的點。
簡單割對應閉合圖：反證。假設存在u∈S-{s}，v∈T-{t}，且(u, v)∈E。因為(u, v)∈E，所以網路N=(V’, E’)中存在(u, v)∈E’且c(u, v)=inf。又因為u, v分屬s, t，所以這條邊屬於[S, T]，與簡單割的假設矛盾。
閉合圖對應簡單割：反證。假設[S, T]不是簡單割，那麼存在u∈S-{s}，v∈T-{t}，且c(u, v)=inf。這隻會當存在(u, v)∈E時發生，與閉合圖的假設矛盾。

數量關係方面，最小割意味著最小化“刨開的正權+保留的負權的絕對值”。用正點權之和去減，得到“保留的正權-保留的負權的絕對值=保留的正權+保留的負權”。

有向無環圖的最小路徑覆蓋

• s->Xi，容量為1。
• Xi->Yj，(i, j)∈E，容量上界為1。
• Yi->t，容量上界為1。

DAG的最小路徑覆蓋=|V|-對應二分圖的最大匹配。

約束是什麼？對路徑的定義中，有至關重要的一點：允許長度為0。於是解的存在性得到了保證。因此，只需滿足：對於任意一點，至多有一條與它關聯的入邊和與它關聯的出邊被選中。
二分圖的匹配，可以從頂點對應的角度看待，也可以從邊的角度看待：選出一些邊，使得每個頂點至多與一條邊關聯。和本問題的約束對比，發現有向無環圖不是二分圖，並且對於頂點而言，邊分為入邊和出邊兩類。考慮把點i拆成Xi、Yi，入邊連到Yi，出邊從Xi出發。這樣，問題的約束便和二分圖匹配相一致。
目標是什麼？使路徑覆蓋數最小。除了直接數，還能用什麼來刻畫路徑覆蓋數？頭的數量或尾的數量。什麼樣的點是頭？沒有匹配邊與對應的Yi關聯。尾？沒有匹配邊與對應的Xi關聯。所以，DAG的最小路徑覆蓋=|V|-對應二分圖的最大匹配。

hzwer這兒有另一種更簡潔的看待方法：

如果無匹配，顯然要n條路徑才能覆蓋所有點，兩個點匹配意味著將可以把它們用一條路徑覆蓋，路徑數就可以減1

我還有一種另類看待方法：
帶上下界的網路流。
Step 1
- s->Xi，容量上界為1。
- Xi->Yi，容量下界為1，上界inf。
- Yi->Xj，(i, j)∈E，容量上界為1。
- Yi->t，容量上界為1。
求解s-t最小流。

Step 2
看出一個可行流，於是省去通常求解s-t可行流的步驟。
網路變換為：
- Xi->s，容量上界為1。
- Yi->Xj，(i, j)∈E，容量上界為1。
- t->Yi，容量上界為1。
此網路的t-s最大流與原s-t可行流的疊加，即為原s-t最小流。s-t可行流的值為|V|，用|V|去減t-s最大流即可。

這種看待方法和hzwer的在實質上相同，但是是從形式上的變換得到的。

為什麼強調DAG？因為我們只是簡單地拆點、匹配，而沒有在意這兩點是否已經在同一條路徑裡了。比如，一個環，對應二分圖的最大匹配為|V|，實際上，作為一條有始有終的“路徑”，它是不能封口的。

最多/最大權不相交路徑

在原圖上改造，用容量1描述“不相交”的約束，用源、匯發出、接受的容量限制最大權不相交路徑問題中路徑的條數。若要求頂點也不相交，可採用拆點的手段給結點賦容量。

最短路

把狀態看作頂點，狀態的轉移看作邊，邊權是轉移的代價。如果一個問題有最優子結構、重疊子問題兩個性質，令你很想使用動態規劃方法，卻苦於無法確定計算順序，那麼不妨嘗試最短路模型。有時，用不著把圖存起來，把轉移寫在最短路過程裡即可。這樣免去了分層圖的一些麻煩，也提高了程式的時間效率。
狀態是什麼？哪些量能簡潔而完整地刻畫它？狀態之間的轉移關係是怎樣的？

區間k覆蓋

• 離散化。
• s->P1，容量為k，費用為0。
• Pi->P(i+1)，i

二分法

做過兩道與之有關的題目：[HNOI2007]緊急疏散evacuate、[CTSC1999]家園。從劉汝佳老師的書上學習了“公平分配問題”。
前兩題的一個共性是相對論的四維時空觀：按時間拆點，體現了分層建圖的思想。
可以通過比較流量和待分配的數目，判定此次嘗試的成功與否。可以通過修改一些邊的容量、修改圖的層數，為新的一輪嘗試做準備。
有時，無解的判定、二分上下界的確定成為問題。比如家園一題。我判定無解的方式是，先在三維空間內建圖，判定地球、月球是否連通。如果連通，總存在一種方案拯救人類，因為可以等待。但是我估算的二分範圍太鬆了，導致最後一組TLE。在題解的啟發下，將上界和某常數取min……不少題解是列舉的，迴圈到某個常數便停止（說只是TLE和WA的區別……），於是便省去了估算範圍這一步驟。由於增廣路演算法本身就是在一遍遍迭代，這樣逐層列舉，由於先前的殘存網路尚在，也取得了不錯的時間效率。
在CodeVS 1034的題解頁面還發現了一個費用流解法（Solution_ID:4685 by 6755），使人們走較近的路去月球，最後判斷最後走過的從月球到匯點的邊。但這樣一開始就得建很多層圖，需要對答案範圍的敏銳感知。
提交記錄裡時間差異挺大的……有2ms，有幾十ms，有像我這樣上百ms。

參考和推薦