問題

在只考慮重力的作用的情況下，一質點從點A沿某條曲線到點B，問怎樣的曲線能使所需時間最短？

這一問題被稱為最速降線問題（Brachistochrone），由約翰·伯努利在1696年提出來挑戰歐洲的數學家。

1、費馬原理與斯涅耳定理

約翰·伯努利的證明實際上非常巧妙，利用了費馬原理：一束光從A點傳播到B點總是沿著盡可能快的路徑。

從費馬原理實際上可導出斯涅耳定理（Snell’s Law）:考慮光線跟一條垂直兩介質邊界所成的角度，該角度的正弦值除以光速在從一種介質轉移到另一種介質時保持不變。

$$\dfrac{\sin(\theta_1)}{v_{\text{air}}} = \dfrac{\sin(\theta_2)}{v_{\text{water}}}$$

光的傳播

因此原問題可以想象為一束光在不同折射率的介質中傳播，即以不同的速度連續的沿著滑道向下走：

當層數不斷增加，我們就得到了想要的路徑。

由能量守恒定律，重力勢能轉化為動能，因此：

$$v = \sqrt{2gy}$$

又根據斯涅爾定理可得：

$$\dfrac{\sin(\theta)}{\sqrt{y}} = \text{constant(常數)}$$

這就是我們要求的曲線方程。

2、擺線

這一曲線方程實際上就是旋輪線，即滾動的輪子邊緣上的一點所描述的形狀。

圓上定點P，圓與水平線的切點為C，圓滾動時，點C充當點P的瞬時旋轉中心：

所以CP垂直於擺線過點P的切線，又因直角圓周角對應直徑，所以該切線一定過圓的最低點，交點與C的連線即為圓的直徑：

設直線與切線的夾角為$\theta$，根據相似三角形，我們可以計算出點P到水平線的距離：

即

$$\dfrac{\sin(\theta)}{\sqrt{y}} = \dfrac{1}{\sqrt{D}} = \text{constant(常數)}$$

由此證明最速降線實際就是擺線。

3、變分法

從微積分的方法考慮這一問題，設曲線方程為$y=y(x)$，速度與縱坐標有$v=\sqrt{2gy}$的關系，同時

$$v = \dfrac{ds}{dt} = \sqrt{1+y‘^2} \dfrac{dx}{dt}$$

其中$s$表示曲線的弧長，$t$表示時間，於是

$$dt = \dfrac{\sqrt{1+y‘^2}}{v}dx = \dfrac{\sqrt{1+y‘^2}}{\sqrt{2gy}}dx$$

所以從A到B的時間為

$$t = J(y) = \int_A^B \dfrac{\sqrt{1+y‘^2}}{\sqrt{2gy}}dx$$

這樣時間$t$被寫成了關於$y$的泛函，而求時間最短問題變成了在滿足邊界條件

$$y(A) = 0, y(B) = y_B$$

下的對泛函$J(y)$求極值問題，即變分問題。

考慮對泛函$$J(y) = \int_b^a F(x,y,y‘)dx$$變分

$$\begin{aligned}
\delta J(y) &= J(y+\delta y) - J(y) \\
&= \int_a^b \left[\dfrac{\partial F}{\partial y}\delta y + \dfrac{\partial F}{\partial y‘}\delta y‘\right]dx \\
&= \int_a^b \left[\dfrac{\partial F}{\partial y} - \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\partial F}{\partial y‘}\right) \right] \delta y dx
\end{aligned}$$

令$\delta J(y) = 0$即得

$$\dfrac{\partial F}{\partial y} - \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\partial F}{\partial y‘}\right) = 0$$

將上述方程帶入，即將變分問題轉化為微分方程問題，解此微分方程即得所求曲線。

參考鏈接：

• Vedio
• Blog

最速降線問題