steepest descent for Euclidean norm 最速下降法中二次範數的下降方向
在無約束優化中,設f(x)是凸函式。可以通過∂f(x)=0求解,如果不能直接得到解析解,可以通過構造一個序列,x0,x1,...,xk,使得f(x0)>f(x1)>...>f(xk),給定一個閾值η,當▽f(x)<η停止。
x:=x+tΔx (f是凸函式,滿足f(y)≥f(x)+▽f(x)TΔx)
於是就有了
一般下降方法
General Descent Method: 給定一個初始值x, 重複以下步驟:
- 確定下降方向Δx
- 確定步長t(1.Exact line search, 2.Backtracking line search)
- 更新x,x=x+tΔx 直到滿足停止條件
梯度下降法
,就是Δx=−▽f(x),停止準則是∣∣▽f(x)∣∣2≤η
下面介紹最陡下降法Steepest descent method
f(x)的一階展開式為f(x+v)≈f(x)+▽f(x)Tv,選擇一個方向v使f(x+v)最小,這個方向就是最陡下降法的方向。v大小要有一個限制,才有意義。
Δxnsd=argmin{▽f(x)Tv∣∣∣v∣∣≤1}
Δxsd=∣∣▽f(x)∣∣∗Δxnsd,這是最陡下降法的方向
根據範數
的不同有幾個不同的方向。
歐幾里得範數Euclidean norm
方向就是Δxsd=−▽f(x)
二次範數quadratic norm
方向就是Δxsd=−P−1▽f(x),下面的圖是具體怎麼求這個方向的過程。
l-1範數
Δxsd=−∂xi∂f(x)ei,方向是求偏導數的那個方向。
牛頓方法
就是二次範數中P=▽2f(x),Hessian矩陣。當然也可以用泰勒二階展開式近似,然後求倒求展開式的最小值,也可得到相同的結果。停止準則為∣∣▽f(x)∣∣▽2f(x)≤η
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