矩陣變換和n個線性無關特徵向量

申明：僅個人小記

看待矩陣有很多種不同的角度，當我們把矩陣看作是一種變換的時候，我認為矩陣對應的變換隻有：拉伸和旋轉。

A \vec{x} = \vec{y}

（可以用相關性來輔助我想表達的意思，拉伸和旋轉是互相獨立的，即拉伸能做的旋轉不一定能做到，而旋轉能做的拉伸不一定能做到。補充：投影則只是當拉伸比例為0時的一個特例。我的意思就是矩陣的所能產生的所有變換都是可以有拉伸和旋轉混合而得到）。

注：本文只探討拉伸變換部分

Q：為什麼總是看到n個線性無關的特徵向量這種字眼？
因為n個線性無關的特徵向量可以完備的構建出n維空間。

注：本段討論都是基於n個線性無關的特徵向量存在的情況。
矩陣A有n個線性無關的特徵向量，記為

\vec{ξ_{1}} ， \vec{ξ_{2}} ， . . . ， \vec{ξ_{n}}

相應的特徵值（可以有重根）為，

λ_{1}, λ_{2}, . . ., λ_{n}

取任意一個n維向量

\vec{x}

，因為

\vec{ξ_{1}} ， \vec{ξ_{2}} ， . . . ， \vec{ξ_{n}}

是n個線性無關的特徵向量，所以必然可以撐起一個有n個n維向量構成的完備的n維空間。所以必然向量

\vec{x}

可以由

\vec{ξ_{1}} ， \vec{ξ_{2}} ， . . . ， \vec{ξ_{n}}

這n個線性無關的特徵向量進行線性表示，記為

\vec{x} = k_{1} \vec{ξ_{1}} + k_{2} \vec{ξ_{2}} + . . . + k_{3} \vec{ξ_{n}}

我們現在來看待

A \vec{x} = \vec{y}

即為，

A (k_{1} \vec{ξ_{1}} + k_{2} \vec{ξ_{2}} + . . . + k_{3} \vec{ξ_{n}}) = λ_{1} k_{1} \vec{ξ_{1}} + λ_{2} k_{2} \vec{ξ_{2}} + . . . + λ_{n} k_{n} \vec{ξ_{n}} = \vec{y}

這個式子非常清晰的告訴我們矩陣A對向量

\vec{x}

到底做了什麼進而變為向量

\vec{y}

，就是在

\vec{x}