性質

對於任意的 n∈N∗ ，有：

∑d|nφ(d)=n

證明

方法一

設集合

M={1,2,3,⋯,n−1,n}
我們嘗試將集合中的數分類。
每個數都能按照其與n的最大公因數來分。
不妨設我們當前討論M中與n的最大公因數為d的數有多少個，d|n。
假設dx∈M並且gcd(dx,n)=d，
那麼gcd(x,nd)=1，且x屬於集合M′={1,2,⋯,nd}
這樣，個數顯然就是x的所有可能取值也就是φ(nd)。
當d跑遍n的因子時，nd也跑遍n的因子。因為每個數與n的最大公因數是確定的，因此每個數分類時會且僅會被分一次。
所以，可以得出結論∑d|nφ(d)

=n

方法二

設

f(n)=∑d|nφ(d)
首先，當n=1時，f(1)=1性質顯然成立.
當n=p時(p為質數)，f(n)=φ(1)+φ(n)=1+(n−1)=n顯然成立.
當n=pk時，
f(n)=1+∑i=0k−1pi(p−1)
=1+(p−1)∑i=0k−1pi
=1+(p−1)∗pk−1p−1=1+pk−1=pk=n
成立.
因為φ(n)是積性函式，根據莫比烏斯反演的充要性，得f(n)是積性函式.
對於一般形式n=∏ki=1piei
f(n)=∏ki=1f(piei)
=∏ki=1piei
=n
另外還有一種證法參見Alan的blog(%%%)
數論大師Drin_E的部落格上也有一種證法：

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