2. 程式人生 > >【數論專題】

【數論專題】

阿新 • • 發佈：2019-01-29

一、遞迴問題（引子）

1.hanoi雙塔問題

①經典hanoi雙塔

給你n個盤子，3根柱子分別標為ABC，n個盤子從上到下大小遞增，要求大盤不能放在小盤上面且每次只能動一個盤子

問：將盤子全部轉移到C柱需要多少步

要使最大的盤子到C柱，較小的n-1個盤子必須先到B柱，大盤再到C柱，小盤再到C柱，即:

Fn=2Fn−1+1,F0=0

我們考慮這個式子的封閉形式

Fn+1=2(Fn−1+1)

Gn=Fn+1

Gn=2Gn−1,G0=1

Gn=2n

即：

Fn=
2n−1

這樣我們就可以在O(log⁡n)的複雜度內解決這個問題了

②複雜情況

如果每次轉移不允許最大的盤子直接到目標柱呢

這樣就需要把小盤子先移到目標柱，再將大盤過中繼柱，小盤迴原柱，大盤到目標柱，小盤到目標柱

可得：Fn=3Fn−1+2

類比上式可得封閉形式：

Fn=3n−1

③擴充套件

m柱n盤hanoi塔問題求解

設有i個盤子，j個柱子時的答案為f[i][j]，則有：

f[i][j]=min(2f[k][j]+f[i−k]
[j−1])

即：將k個盤子拿走，剩餘盤子拿到目標柱，再轉移k個盤子，組合的最小值即為所求

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAXN=2005,INF=0x7f;

int n,m;
int f[MAXN][MAXN];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=2;i<=m;++i) f[1][i]=1;
    for(int i=3;i<=m;++i) f[2][i]=3
 
;
    for(int i=2;i<=n;++i) f[i][3]=f[i-1][3]*2+1;
    for(int j=4;j<=m;++j){
        for(int i=3;i<=n;++i){
            int minn=0x7fffffff;
            for(int k=1;k<i;++k){
                minn=min(minn,f[k][j]*2+f[i-k][j-1]);
            }f[i][j]=minn;
        }
    }printf("%d\n",f[n][m]);
    return 0;
}

2.平面分割問題

①直線分割平面

問：n條直線最多將平面分割為幾部分

我們考慮交點對答案的影響

第i條直線最多與其他直線形成i-1個交點，每兩個相鄰交點之間的線段將原區域分為兩份，另外兩條射線各將原平面分為兩份

則有：Fn=Fn−1+n

即：

Fn=∑i=1ni+1=n(n+1)2+1

②角分割平面

問：n個角最多能將平面分割為幾部分

每個角可看作兩條相交直線去掉交點一側後剩下的部分

即去掉的一側不再能夠分割平面，共少分割了2n個

可得：Gn=F2n−2n

即：

Gn=2n(2n+1)2+1−2n=2n2−n+1

二、數論

1.整除

①定義

對於整數n,m，若m≠0且存在整數k，使得km=n，我們就稱m整除n，m是n的約數，n是m的倍數，記作m|n

②性質

  1. a|a
  2. (a|b)∧(b|a)⇒a=±b