Andrew Ng - SVM【2】一步步邁向核函式

1. 拉格朗日對偶規劃

暫且撇開SVM和最大間隔分類器不管（當然不是真的不管），我們先來討論一個在一定約束條件下的優化問題：

minωf(ω)s.t.hi(ω)=0,i=1,...,l

則該問題對應的拉格朗日函式為：

L(ω,β)=f(ω)+∑li=1βihi(ω)

βi我們叫做拉格朗日乘數，接著我們令L偏導為零：

∂L∂ωi=0;∂L∂βi=0,

便可以求出ω和β。
對於更一般化的約束問題，除了等式約束條件以外，我們還要加入不等式約束條件，稱之為原問題，表示式如下：

minωf(ω

)s.t.gi(ω)≤0,i=1,...,khi(ω)=0,i=1,...,l

該問題對應的拉格朗日函式為：

L(ω,α,β)=f(ω)+∑ki=1αigi(ω)+∑li=1βihi(ω)

αi和βi我們叫做拉格朗日乘數，假設有如下等式：

θP(ω)=maxα,β:αi≥0L(ω,α,β).

這裡下標P用來指代原優化問題。給定一些ω，如果ω違反了拉格朗日的任意約束條件（存在gi(ω)>0或者hi(ω)≠0），θP(ω)=∞；相反，如果所有約束條件滿足，則θP(ω)=f(ω)。因此：

θP(ω)={f(ω)∞ω符合約束條件其他.

所以當我們需要最小化（為什麼是最小化？後邊會有答案）θ

P(ω)的時候，即：

minwθP(ω)=minwmaxα,β:αi≥0L(ω,α,β).

為什麼要最小化呢，因為最小化θP(ω)是我們的原問題（如果你還記得minωf(ω)）。為了方便後邊的使用，我們這裡令p∗=minwθP(ω)，並稱之為原優化問題。
然後我們來看另一個問題，定義：

θD(α,β)=minω

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