求解函式

以求解以下這麼一個函式為例子，實現程式碼為R語言

f(x)=x∗sin(10∗π∗x)+2x∈[−1,2]
其函式影象為：

求解流程與概念

初始解的產生

又稱做狀態產生函式，通常由兩部分組成：
1）第一次產生候選解的分佈函式。
2）第一次產生候選解不滿足條件的情況下，再次產生解的分佈函式。
下面採用的是標準差為2的正態分佈、標準差為3的正態分佈。其中要注意的是狀態產生函式(領域函式)的出發點應該是儘可能保證產生的候選解遍佈全部的解空間。

劣解接受概率（Metropolis準則）

又稱做狀態接受函式，這裡是模擬退火法這個名字的來源，模仿固體退火原理，隨著溫度（迭代次數上升）的下降，能量逐漸穩定。即劣解的接受概率p

逐漸下降，其公式為：

p={1,e−E(xnew)−E(xold)T,E(xnew)<E(xold)E(xnew)≥E(xold)
從公式中可以看出這是求最小值時的分佈，因為當新的解小於舊解時百分百接受。又可以看出當E(xnew)≥E(xold)時，p恆在【0，1】之間。其概率變化情況：

關於初始溫度，初溫越大，獲得高質量解的機率越大，但花費較多的計算時間，原理可以從上面的圖中或者結合下面溫度隨時間變化進行理解、解釋，溫度越高對於劣解的接受能力越大（搜尋範圍越大），下降速度越慢（求解速度下降）。
關於初始解如何設定一般有以下方法：
（1）按照某一概率分佈抽樣一組K個解，以K個解的目標值的方差為初溫（下面使用的時正態分佈）；。
（2）隨機產生一組K個狀態，確定兩兩狀態間的最大目標差值，根據差值，利用一定的函式確定初溫。
（3）利用經驗公式。

溫度更新

溫度更新函式：

T0=T0ln(1+t)

溫度可以看出不管初始溫度如何，都有一個先加熱後散熱的過程。即先提高搜尋範圍，再慢慢的減少搜尋範圍。至於為什麼會在差不多時刻大家都把溫度降低，我是這麼進行理解的，他們只是在不斷的接近，而不會重疊，同一時刻初始溫度越大，其當前時刻溫度也越大，都接近在同一刻收斂是因為他們總是在以一個倍數在進行減少。

程式碼

演算法流程圖：

程式碼：

# 定義目標函式
sloveFun <- function(x){
  (x*sin(10*pi * x) + 2)
}

limitX <- c(-1, 2)
#1. 初始化以及引數調整
stmp <- runif(100
 
, limitX[1], limitX[2]) # 用於求初始溫度設定
t0 <- var(sloveFun(stmp)) # 初始溫度
s0 <- runif(1, limitX[1], limitX[2])  # 初始解
iters   <- 1000           # 迭代次數
ccnt    <- 200            # 終止條件，連續ccnt個新解都沒有接受時終止演算法
hisBest <- limitX[2]      # 預設取上界
ccntVc  <- NULL

#2.迭代
for (i in 1:iters) {
  #2.1 在s0附近產生新解，但又能包含定義內所有值
  s1 <- rnorm(1, mean = s0, sd = 2)
  while (s1 < limitX[1] || s1 > limitX[2]){ 
    s1 <- rnorm(1, mean = s0, sd=3)
  }
  #2.2 計算能量增量
  delta_t <- sloveFun(s0) - sloveFun(s1)

  #2.3 根據增量判斷是否接受解
  if (delta_t > 0) { # 接受更好解
    s0 <- s1
    ccntVc <- c(ccntVc, 1)
  }else{ # 較差的解以一定概率接受
    p  <- exp(delta_t / t0)
    p1 <- sample(x = c(0, 1), size = 1, prob = c(1-p, p)) # 以一定概率生成 0,1：0 不接受劣解,1 接受劣解 
    if( p1 == 1 ) {
      s0 <- s1
      ccntVc <- c(ccntVc, 1)
    } else {
      ccntVc <- c(ccntVc, 0)
    }
  }

  #2.4 更新最優值
  hisBest <- ifelse(sloveFun(s1) < sloveFun(hisBest), s1, hisBest)
  hisBest <- ifelse(sloveFun(s0) < sloveFun(hisBest), s0, hisBest)

  #2.5 更新溫度
  t0 <- t0/log(1 + i) # 溫度隨時間的推移而下降

  #2.6 檢查終止條件
  ccntVcLen <- length(ccntVc)
  if (ccntVcLen > ccnt && # 模擬次數大於ccnt
      sum(ccntVc[(ccntVcLen - ccnt +1):ccntVcLen]) == 0) { # 連續ccnt次沒有接受新解，ccntVc末尾200個全為0
    cat("連續", ccnt, "次沒有接受新解，演算法終止！","\n")
    cat("迭代次數為:", i, "\n")
    cat("最優解為:", hisBest, "\n")
    break()
  }
}
# 連續 200 次沒有接受新解，演算法終止！ 
# 迭代次數為: 257 
# 最優解為: 1.848313 

在看了遊皓麟一書的某些程式碼塊後，越發感覺利用R語言學習演算法的效率之高，程式碼簡短，感覺就像可以執行的流程圖。是一個學習的快速工具。