動態規劃之LCS和LIS
阿新 • • 發佈：2019-01-29
（一）最長公共子序列
問題描述：給定一個序列
下面是針對
//hdj1159 //dynamic programing, LCS #include <iostream> #include <string> using namespace std; int LCS(string s1, string s2) { int len1 = s1.length(); int len2 = s2.length(); int** a = new int*[len1 + 1]; int i, j; for(i = 0 ; i < len1+1 ; i++) a[i] = new int[len2+1]; for(i = 0 ; i < len1+1 ; i++) a[i][0] = 0; for(j = 0 ; j < len2+1 ; j++) a[0][j] = 0; for(i = 1 ; i < len1+1 ; i++) { for(j = 1 ; j < len2+1; j++) { if(s1[i-1] == s2[j-1]) a[i][j] = a[i-1][j-1]+1; else if( a[i-1][j] > a[i][j-1] ) a[i][j] = a[i-1][j]; else a[i][j] = a[i][j-1]; } } return a[len1][len2]; } int main() { string s1, s2; while(cin>>s1>>s2) { cout<<LCS(s1, s2)<<endl; } return 0; }
（二）帶權值的最長公共子序列
問題描述，HDU 1080 ， 給定兩個由指定字母組成的字串，可以在兩個字串的任意位置新增任意的字元 ‘-’ ，現在要求將兩個字串進行配對，同時，任意兩個字元之間配對都有一個權值，要求使得總權值最大的匹配。
假設原字串是 ， 設
表示
的字首子串
與
的字首子串
之間的最大匹配值。則
的生成有三種情況：
（1）在 的位置插入字元 ‘-’ 。此時，
；
（2）在 的位置插入字元 ‘-’ 。此時，
；
（3）直接令 與
進行匹配。 此時，
；
當然， 取三者中的最大者，因此有以下轉移方程：
根據轉移方程，不難給出該問題的解答。以下是我的AC的程式碼：
//hdj1180
//dynamic programing, LCS with weight
//
#include <iostream>
#include <string>
#define Inf 999999
using namespace std;
int weight[5][5]={
5, -1, -2, -1, -3,
-1, 5, -3, -2, -4,
-2, -3, 5, -2, -2,
-1, -2, -2, 5, -1,
-3, -4, -2, -1, -Inf
};
int findindex(char ch)
{
if(ch == 'A') return 0;
else if(ch == 'C') return 1;
else if(ch == 'G') return 2;
else return 3;
}
int max(int a, int b, int c)
{
return a>b?a>c?a:c:b>c?b:c;
}
int LCS(string s1, int len1, string s2, int len2)
{
int** a = new int*[len1 + 1];
int i, j;
for(i = 0 ; i < len1+1 ; i++) a[i] = new int[len2+1];
a[0][0] = 0;
for(i = 1 ; i < len1+1 ; i++) a[i][0] = a[i-1][0] + weight[4][findindex(s1[i-1])];
for(j = 1 ; j < len2+1 ; j++) a[0][j] = a[0][j-1] + weight[findindex(s2[j-1])][4];
for(i = 1 ; i < len1+1 ; i++)
{
for(j = 1 ; j < len2+1; j++)
{
int tmp1 = a[i-1][j-1] +weight[findindex(s1[i-1])][findindex(s2[j-1])];
int up = a[i-1][j] + weight[findindex(s1[i-1])][4];
int left = a[i][j-1] + weight[4][findindex(s2[j-1])];
a[i][j] = max(tmp1, up, left);
}
}
return a[len1][len2];
}
int main()
{
int T;
cin>>T;
while(T--)
{
string s1, s2;
int len1, len2;
cin>>len1>>s1;
cin>>len2>>s2;
cout<<LCS(s1, len1, s2,len2)<<endl;
}
return 0;
}（三）最長遞增子序列
問題描述，求一個給定序列方法1：排序+LCS
一個簡單的思路是將給定的序列先進行有序化（O(nlog(n))），然後使用LCS演算法來查詢給定的序列及有序化後的序列之間的最長公共子串（O(n2)）。這個方法顯然不夠好。方法2：DP
為了有效的使用DP演算法，我們先要描述該問題的最優子結構性質。設顯然這是可以用動態規劃從左往右計算的。演算法的實現程式碼如下；
int a[MAXN];
int LIS_DP(int n)
{
int * lenth = new int[n];
int i;
for(i=0;i<n;i++)
{
lenth[i] = 1;
for(int j=0;j<i;j++)
if( a[j] < a[i] && lenth[j]+1 > lenth[i]) lenth[i] = lenth[j]+1;
}
int max = lenth[0];
for(i = 1 ; i < n ; i++)
if(lenth[i] > max) max = lenth[i];
delete [] lenth;
return max;
}這個演算法的時間複雜度是
方法3：更有效的DP演算法
觀察原轉移方程//longest increment subsquence
#include <iostream>
#define MAXN 500001
using namespace std;
int a[MAXN];
void Insert(int* Min, int& nMin, int x)
{
int left = 0, right = nMin-1;
while(left<=right)
{
int mid = (left+right)/2;
if( Min[mid] < x )
{
left = mid+1;
}
else if( Min[mid] > x )
{
right = mid -1 ;
}
else return;
}
Min[left] = x;
if(left == nMin) nMin++;
}
int LIS(int n)
{
int* Min = new int[n];
int nMin = 1;
Min[0] = a[0];
for(int i = 1; i < n; i++)
{
Insert(Min, nMin, a[i]);
}
delete []Min;
return nMin;
}
int main()
{
int n;
int nCase = 1;
while(cin>>n)
{
int i;
for(i=1;i<=n;i++)
{
int j;
cin>>j;
cin>>a[j-1];
}
int lenth = LIS(n);
cout<<"Case "<<nCase++<<":"<<endl<<"My king, at most ";
if(lenth > 1) cout<<LIS(n)<<" roads can be built."<<endl<<endl;
else cout<<LIS(n)<<" road can be built."<<endl<<endl;
}
return 0;
}補充資料：
下面的分析截圖來自於CSDN的論壇，不知道出自哪本書，僅供參考。
（四）最大遞增子序列
最長遞增子序列有一個變形的問題，如HDU 1087，題目意思是求一個序列中，各個元素之和最大的嚴格遞增子序列。解決思路如LIS中的方法2，只不過令 b(j) 表示以 a[j] 結尾的遞增子序列的最大值，最後再從陣列b中找出數值最大的元素即可（也可以記錄一個max變數，這樣省略了一步遍歷找最大值的過程）。 AC程式碼如下：//hdu 1087
//dynamic programming
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n;
while(cin>>n && n)
{
int* a = new int[n];
int* b = new int[n];
for(int i = 0 ; i < n; i++)
{
cin>>a[i];
b[i] = 0 ;
}
b[0] = a[0];
int max = a[0];
for(int i = 1; i < n; i++)
{
b[i] = a[i];
for(int j = 0 ; j < i ; j++)
{
if(a[i] > a[j] && b[j]+a[i]>b[i]) b[i] = b[j]+a[i];
}
if(max < b[i]) max=b[i];
/*
cout<<"level "<<i<<":";
for(int j = 0 ; j < n ;j++) cout<<b[j]<<" ";
cout<<endl;
*/
}
cout<<max<<endl;
}
return 0;
}演算法的時間複雜度同LIS問題DP演算法的方法2的時間複雜度。