USACO-Section2.2 Subset Sums [動態規劃]
阿新 • • 發佈:2019-01-30
題目大意
對於從1到N (1 <= N <= 39) 的連續整數集合,能劃分成兩個子集合,且保證每個集合的數字和是相等的。舉個例子,如果N=3,對於{1,2,3}能劃分成兩個子集合,每個子集合的所有數字和是相等的:
{3} 和 {1,2}
這是唯一一種分法(交換集合位置被認為是同一種劃分方案,因此不會增加劃分方案總數) 如果N=7,有四種方法能劃分集合{1,2,3,4,5,6,7},每一種分法的子集合各數字和是相等的:
{1,6,7} 和 {2,3,4,5} {注 1+6+7=2+3+4+5}
{2,5,7} 和 {1,3,4,6}
{3,4,7} 和 {1,2,5,6}
{1,2,4,7} 和 {3,5,6}
給出N,你的程式應該輸出劃分方案總數,如果不存在這樣的劃分方案,則輸出0。程式不能預存結果直接輸出(不能打表)。
(copy form nocow)
題解
dp[i][j]表示用前i個數字組成的和為j的方案數。那麼動歸方程為:
dp[i][j]=⎧⎩⎨dp[i−1][j],dp[i−1][j]+dp[i−1][j−i],1,i<ji≥ji=0,j=0
當i=j時,dp[i-1][0]必須等於1,不然會漏掉只選i一個數字的情況。所以初始化的時候dp[0][0] = 1即可。
程式碼
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <cstring>
#define MAXN 40
#define MAXM 400
#define SUM(x) (((x)+1)*(x)/2)
#define cin fin
#define cout fout
using namespace std;
ifstream fin("subset.in");
ofstream fout("subset.out");
typedef long long ll;
ll dp[MAXN][MAXM];
int N, M;
int main() {
cin >> N;
M = SUM(N);
if (M%2) {
cout << 0 << endl;
return 0;
}
M /= 2;
memset(dp, 0, sizeof(dp));
dp[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = 0; j <= M; j++) {
if (j < i) dp[i][j] = dp[i-1][j];
else dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-i];
//dp[i-1][0]必須等於1,不然會漏掉只選i一個數字的情況。
}
}
cout << dp[N][M]/2 << endl;
}
在空間上可以做一點點微小的優化,使用一維陣列。優化原理參照揹包9講詳解:
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <cstring>
#define MAXN 40
#define MAXM 400
#define SUM(x) (((x)+1)*(x)/2)
#define cin fin
#define cout fout
using namespace std;
ifstream fin("subset.in");
ofstream fout("subset.out");
typedef long long ll;
ll dp[MAXM];
int N, M;
int main() {
cin >> N;
M = SUM(N);
if (M%2) {
cout << 0 << endl;
return 0;
}
M /= 2;
memset(dp, 0, sizeof(dp));
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = M; j >= 0; j--) {
if (j >= i)
dp[j] = dp[j] + dp[j-i];
}
}
cout << dp[M]/2 << endl;
}