【專題】因子和與因子個數

阿新 • • 發佈：2019-01-30

基本理論

定義1：因子和函式 δ定義為整數n的所有正因子之和，記δ(n)

定義2：因子個數函式τ定義為正整數n的所有正因子個數，記為τ(n)

定理1:如果f是積性函式，那麼f的和函式F(n)=∑d|nf(d)也是積性函式

推論:因子和函式δ與因子個數函式τ是積性函式

定理2：設p是一個素數，a是一個正整數,那麼

δ(pa)=1+p+p2+...+pa=pa+1−1p−1,τ(pa)=a+1

定理2

設正整數n有素因子分解n=pa11⋅pa22...pakk,那麼

δ(n)=pa1+11−1p1−1⋅pa2+12−1p2−1...pak+1k−1pk−1=∏kj=1paj+1

j−1pj−1

τ(n)=(a1+1)⋅(a2+1)...(ak+1)=∏kj=1(aj+1)

應用

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基本理論定義1：因子和函式 δ定義為整數n的所有正因子之和，記δ(n) 定義2：因子個數函式τ定義為正整數n的所有正因子個數，記為τ(n) 定理1:如果f是積性函式，那麼f的和函式F(n)=∑d

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