球面投影 (立體和柱面的投影效果)
【原文來自：http://blog.csdn.net/zhang11wu4/article/details/47754035】
球面投影 (立體和柱面的投影效果)
Written by Paul BourkeEEG data courtesy of Dr Per Line
December 1996, Updated December 1999
立體效果（在2維平面 畫出 3維的物體）
立體投影是把球面上的點投影到平面的方法之一。立體投影通常用於地球和空間的地圖繪製。這些地圖繪製通常有以下的特點：它們的幾何外觀是球面狀，但是卻需要在紙張或者電腦顯示器這樣的平面上展示。只要把球面對映到平面就會產生扭曲失真，當然
立體投影模型：一個透明球體置於平面之上。我們把球體與平面相切的點叫南極點，把光源 置於南極點過球心對稱的點P1，北極點。每一條透過球面某一點P2的光線都會投射在平面上的某一點P，那麼這個點P就是球面P2點在平面上的立體投影。
為了推導立體投影的座標轉換公式，我們假設：球心位於 座標原點(0,0,0)，球的半徑是 r，投影平面在 z = -r 上，光源在點 (0,0,r) 上。參照以下的 Schlegal 圖解：
假設過光源點P1 = (0,0,r) 、球面上的點P2 = (x,y,z)的線的點方程是：
P = P1 + mu (P2 - P1) . . . . . . (1)我們要求出P2鍋直線在平面上交點，即(Px, Py, -r)，代入（1）式得：
-r = r + mu (z - r)
或：mu = 2r / (r - z)
現在我們可以吧常數mu回代到（1）式來取得任意球面上點 (x,y,z) 的立體投影：
P = P1 + (P2 - P1) * 2r / (r - z)
注意：
- 南極點位於整個投影的中心
- 緯線的投影的同心圓的圓心位於 (0,0, -r)
- 經線的投影是點 (0,0,-r)的射線
- 在南極點上幾乎沒有扭曲失真
- 投影的結果是一個半徑為 2r 的圓
- 越靠近北極點扭曲失真越大，北極點則失真無限大
下面的例子來自於EEG資料中心的一個近似半球體(人的頭部)。這些資料可以在一個虛擬的半球上重新渲染出來，但這樣做不能夠在任意視角看到整個半球的表面（也就是每一個角度都只能看到特定的半球表面）。最後的角度是從這個頭部的正上方往下看，不過頭部邊緣會因為曲率的原因產生嚴重的壓縮失真。
以下左圖展示了半球體的平面投影，右圖展示了同一半球體的立體投影。我們可以看到右圖邊緣的壓縮失真得到了極大的改善，邊緣區域的視覺效果得到了極大的提升。
注意：為了保持半球和投影大小在同一個維度，右圖在平面上的投影是按0.5的比例顯示。
圓柱面投影
通常柱面投影把緯線投影成等距的平行線，把在極點相交的經線也投影成了等距的平行線。圖示說明柱面投影的基本方法：從球心向球面作一條線相交於圓柱面，這個交點即為所求投影點。
推導公式非常直觀明瞭：
設極座標系球面上的點P(r, alpha, beta)，令r=1
設展開的圓柱面水平方向為x軸，垂直方向為y軸，座標原點位於垂直方向的中間（水平方向的最左方），則有：