非線性方程求根數值解法
實驗目的
（1）通過對二分法與牛頓迭代法做程式設計練習和上機運算，進一步體會二分法和牛頓法的不同。
（2）編寫割線迭代法的程式，求非線性方程的解，並於牛頓迭代法作比較。

一、實驗內容
1、用牛頓迭代法求下列方程的根
(1) x^2-e^x=0
(2) xe^x-1=0
(3) lgx+x-2=0
2、二分法解以上問題
3、編寫割線法程式求解第一問的方程
實驗步驟、程式設計、實驗結果及分析

一、用牛頓迭代法求下列方程的根：
1.1實驗步驟：
以第一題為例，列舉實驗步驟
令 f(x)= x^2-e^x
求得f’(x)=2×x -e^x
x_k+1

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    double x0,x;
    x=1;
    do
    {
        x0=x;
        double fx=x*x-exp(x);
        double fx2=x*2-exp(x);
        x=x0-(fx/fx2);
    }while(fabs(x-x0)>=1e-5);
    cout<<x0<<endl;
    return
 
 0;
}

(2) xe^x-1=0

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    double x0,x;
    x=1;
    do
    {
        x0=x;
        double fx=x*exp(x)-1;
        double fx2=x*exp(x)+exp(x);
        x=x0-(fx/fx2);
    }while(fabs(x-x0)>=1e-5);
    cout<<x0<<endl;
    return 0;
}
 

分析：
通過牛頓迭代法，求出f（x）的導數，根據x_k+1=x_k-f(x)/f’(x)
進行迭代，通過實驗發現我們只需要通過5次迭代就可以求出答案

(3) lgx+x-2=0

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    double x0,x;
    x=1;
    do
    {
        x0=x;
        double fx=log10(x)+x-2;
        double fx2=1/x+1;
        x=x0-(fx/fx2);
    }while(fabs(x-x0)>=1e-5);
    cout<<x0<<endl;
    return 0;
}

分析：
通過牛頓迭代法，求出f（x）的導數，根據x_k+1=x_k-f(x)/f’(x)
進行迭代，通過實驗發現我們只需要通過9次迭代就可以求出答案
二、二分法求方程的根
2.1實驗步驟
1）我們給定一個初始的範圍，這個範圍要求在區間內函式單調並且有且僅有一個根
2）通過判斷 mid=(r+l)/2 是不是滿足f(mid)=0的條件，如果不滿足就縮小範圍(l,mid) 或者是(mid,r)
3）當l,r的區間長度小於一個很小的數eps的時候，那麼我們就相當於求出了方程的根
2.2程式設計
(1) x^2-e^x=0

#include<bits/stdc++.h>
#define eps 1e-5
using namespace std;

bool check(double k)
{
    if(k*k-exp(k)>1e-4)return true;
    else return false;
}
int main()
{
    double l=-1,r=0;
    int cnt=0;
    while(r-l>eps)
    {
        double mid=l+(r-l)/2;
        //cout<<mid<<endl;
        cnt++;
        if(check(mid))
        {
            l=mid;
        }
        else r=mid;
    }
printf("cnt=%d\n",cnt);
printf("answer=%.5lf\n",r);
    return 0;

}

分析：二分法的迭代次數，顯然與要求的精度和其實兩數的範圍有關
2）xe^x-1=0

#include<bits/stdc++.h>
#define eps 1e-4
using namespace std;

bool check(double k)
{
    if(k*exp(k)-1>1e-4)return true;
    else return false;
}
int main()
{
    double l=-1,r=1;
    int cnt=0;
    while(r-l>eps)
    {
        double mid=l+(r-l)/2;
        //cout<<mid<<endl;
        cnt++;
        if(check(mid))
        {
            r=mid;
        }
        else l=mid;
    }
printf("cnt=%d\n",cnt);
printf("answer=%.7lf\n",r);
    return 0;

}

3）lgx+x-2=0

#include<bits/stdc++.h>
#define eps 1e-4
using namespace std;

bool check(double k)
{
    if(log10(k)+k-2>1e-4)return true;
    else return false;
}
int main()
{
    double l=-2,r=2;
    int cnt=0;
    while(r-l>eps)
    {
        double mid=l+(r-l)/2;
        //cout<<mid<<endl;
        cnt++;
        if(check(mid))
        {
            r=mid;
        }
        else l=mid;
    }
printf("cnt=%d\n",cnt);
printf("answer=%.7lf\n",r);
    return 0;

}

三、割線法求第一問
3.1實驗步驟
1）令 f(x)= x^2-e^x
2）x_(k+1)=x_k-f(x_k )/((f(x_k )-〖f(x〗(k-1) ) )*(x_k-x(k-1))
3）迭代計算即可
3.2程式設計

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    double xk,x1,xk2;
    xk2=1;
    xk=-1;
    do
    {
        x1=xk2;
        double fx=xk*xk-exp(xk);
        double fx2=xk2*xk2-exp(xk2);
        xk2=xk2-(fx2/(fx2-fx))*(xk2-xk);
        xk=x1;
    }while(fabs(xk2-xk)>=1e-5);
    cout<<xk<<endl;
    return 0;
}

使用割線法求解，根據公式x_(k+1)=x_k-f(x_k )/((f(x_k )-〖f(x〗(k-1) ) )*(x_k-x(k-1))，迭代次數與初始的設定值有關，當初始值設定為1和-1時，我們需要迭代7次，當初始值設為-0.5和-1時，迭代6次，因此我們可以知道，兩個初始值儘可能在方程的解旁時，能有效的減少迭代次數。

總結

牛頓迭代法具有收斂速度快，能求重根等有點，但是每迭代一步，都要計算函式的導數值，計算量很大，尤其是當函式的結構比較複雜或者函式不可導的時候，就很難使用牛頓迭代法，為了克服這種缺點，常常採用離散牛頓法，與牛頓法相比，它避免了求函式f(x)的導數，但需要兩個初始值，且這兩個初始值儘量取在方程的根的附近，其收斂速度一般比牛頓法慢。但比現行收斂要快。而二分法通過不斷二分縮小區間，二分的迭代次數與要求的精度和設定的起始資料有關。