圖表算法—最小生成樹
1. 什麽是最小生成樹(Minimum Spanning Trees)
對於一個無向圖，如果它的所有邊都帶有一定的數值（即帶權），則會變成下面的樣子
假設這些點都是城市，每個城市之間的連線代表城市間的道路，線上的數字代表著道路的長短。當然，修越長的道路就需要越多的資源。
那麽如果要用最少的資源把所有城市都聯系起來（即任意城市A能沿著道路抵達任意城市B），我們應該怎樣建設道路呢？答案如下圖：
則就是最小生成樹：用最小的權值總和（即數值總和）把所有點都聯系起來。應註意到：最小生成樹的邊總數=此無向圖的點總數-1。
註意，最小生成樹裏是不應該有閉合循環的，如：
權值為24的那條邊顯然是多余的。
2. 生成帶權的無向圖
因為這種無向圖只比普通無向圖多了寫權值，我們只需在每條邊上多加一個變量來記錄權值即可。
使用的鄰接列表也需要把權值信息寫上，如下圖：
目前有兩種比較主流的算法來找最小生成樹：kruskal‘s algorithm（克魯斯卡爾算法）和Prim‘s algorithm（普林演算法）。（中文譯名采用音譯的方法。）
接下來，我們將逐一介紹這兩種算法。
3. kruskal‘s algorithm（克魯斯卡爾算法）
從例子入手：
為了容易理解，我們把所有邊按權值大小排成遞增的數組。實際代碼操作時，只需要寫個方法，讓數組輸出一個最小值即可。
我們需要創建幾個數組：
創建一個點的數組Points，把最小生成樹T的點存儲起來;
創建一個邊的數組mst（Minimum spanning tree的簡寫）來把最小生成樹的邊都存儲起來。
創建一個邊的數組pq把無向圖裏所有的邊都存儲起來。
首先數組pq輸出並移除一個最小值：0-7 0.16。
由於目前的最小生成樹T還沒有點，所以把0和7加進Points。
把0-7這條邊加進mst。
然後數組pq輸出並移除一個最小值：2-3 0.17。
檢查2和3是否在Points中。如果不在，則把這兩個點加入到Points中。
把2-3這條邊加進mst。
然後數組pq輸出並移除一個最小值：1-7 0.19。
7已經在Points中了，只需把1加進Points裏。
把1-7這條邊加進mst。
然後數組pq輸出並移除一個最小值：0-2 0.26。
由於0，2都已經在Points裏了，我們需要檢查如果把0-2這條邊加進最小生成樹裏是否會形成閉合循環。
檢查方法稍後介紹。
如果不會形成閉合循環，則把這條邊加進最小生成樹T中;否則，則無視這條邊，繼續看下一條邊。
在這裏，不形成閉合循環，把0-2這條邊加進mst中。
然後數組pq輸出並移除一個最小值：5-7 0.28。
7已經在Points中了，只需把5加進Points裏。
把5-7這條邊加進mst。
然後數組pq輸出並移除一個最小值：1-3 0.29。
由於1，3都已經在Points裏了，我們需要檢查如果把1-3這條邊加進最小生成樹裏是否會形成閉合循環。
會形成閉合循環，無視之。
然後數組pq輸出並移除一個最小值：1-5 0.32。
由於1，5都已經在Points裏了，我們需要檢查如果把1-5這條邊加進最小生成樹裏是否會形成閉合循環。
會形成閉合循環，無視之。
然後數組pq輸出並移除一個最小值：2-7 0.34。
2，7都已經在Points裏，且會形成閉合循環，無視之。
然後數組pq輸出並移除一個最小值：4-5 0.35。
5已經在Points中了，只需把4加進Points裏。
把5-4這條邊加進mst。
然後數組pq輸出並移除一個最小值：2-1 0.36。
2，1都已經在Points裏，且會形成閉合循環，無視之。
然後數組pq輸出並移除一個最小值：4-7 0.37。
4，7都已經在Points裏，且會形成閉合循環，無視之。
然後數組pq輸出並移除一個最小值：4-0 0.38。
4，0都已經在Points裏，且會形成閉合循環，無視之。
然後數組pq輸出並移除一個最小值：6-2 0.4。
2已經在Points中了，只需把6加進Points裏。
把6-2這條邊加進mst。
此時，mst裏的邊數=無向圖的點總數-1。說明最小生成樹已經形成了，算法結束。
現在討論如何檢測新加入的邊（v-w）是否會使最小生成樹形成閉合循環。假設現在最小生成樹的點總數為V。
可以用深度優先搜索來檢測v是否能抵達w，如果可以，說明最小生成樹中已經有路連接v和w了，再加一條v-w會形成閉合循環。
但是，還有一種方法更為高效：並查集算法。簡單總結一下就是:
v與和v相連的所有點形成一個區域，此區域用一個點a來代表。
w與和w相連的所有點形成一個區域，此區域用一個點b來代表。
然後對比a是否等於b，如果是，則說明v,w處於同一區域，最小生成樹中已經有路連接v和w了，再加一條v-w會形成閉合循環；如果不是，說明v和w處於不同區域，可以加v-w進最小生成樹。
總結一下kruskal‘s algorithm（克魯斯卡爾算法）的通用思路就是：
把所有邊放進一個數組裏。
然後數組輸出並移除一個擁有最小權值的邊，如果這條邊加入到最小生成樹內不會形成閉合循環，則把它加進去；否則無視它。
如此循環，直到最小生成樹的邊總數=無向圖的點總數-1為止。
順帶一提：輸出數值的最小值的方法可以把此數組做出最小堆的結構，然後輸出第一個元素即可。
代碼大概是這樣子的：
4. Prim‘s algorithm（普林演算法）
此算法有兩種實現版本：懶惰算法版（lazy implementation）和貪心算法版（eager implementation）。
懶惰算法和貪心算法是兩種思想，貪心算法也被稱為過度熱情算法。
從一個例子中感受一下：
假設a在他的房間裏愉快地玩耍，突然他媽叫他收拾房間。此時a有兩個選擇：要麽馬上收拾，要麽等會再收拾。
如果選擇馬上收拾，a會馬上打掃房間，甚至把走廊也掃了一遍。這就是貪心算法。
如果選擇等會再收拾，a會等到他媽要來檢查的前一瞬間才開始收拾。這就是懶惰算法。
對於一個程序來說，貪心算法就是當程序收到一個指令時，它不但會完成指令，還會過度熱情地多做點其它事情；
懶惰算法就是程序收到一個指令時，它會暫時無視之，等到我們要用到那個指令生成的結果時，程序才會去做這個指令。
接下來，逐一介紹這兩個實現版本：
普林演算法之懶惰實現版本
從例子入手:
我們需要創建幾個數組：
創建一個點的數組Points，把最小生成樹T的點存儲起來;
創建一個邊的數組mst（Minimum spanning tree的簡寫）來把最小生成樹的邊都存儲起來。
創建一個邊的數組pq。
首先，隨便找一個點開始：如0.
把0加入到Points裏，把含點0的所有邊加入到pq裏。（為了方便理解，這裏的邊按權值遞增排進數組，實際操作只需從數組中輸出最小值，不必排序）
然後pq輸出並移除最小一個最小值：0-7 0.16。
0已經在Points中了，只需把7加進Points裏。
把含點7的除了邊的另一個端頂點已經在Points裏之外的所有邊加入到pq裏。
然後pq輸出並移除最小一個最小值：1-7 0.19。
7已經在Points中了，只需把1加進Points裏。
把含點1的除了邊的另一個端頂點已經在Points裏之外的所有邊加入到pq裏。
然後pq輸出並移除最小一個最小值：0-2 0.26。
0已經在Points中了，只需把6加進Points裏。
把含點2的除了邊的另一個端頂點已經在Points裏之外的所有邊加入到pq裏。
然後pq輸出並移除最小一個最小值：2-3 0.17。
2已經在Points中了，只需把3加進Points裏。
把含點3的除了邊的另一個端頂點已經在Points裏之外的所有邊加入到pq裏。
然後pq輸出並移除最小一個最小值：1-3 0.29。
3，1都已經在Points裏，無視之。
然後pq輸出並移除最小一個最小值：7-5 0.28。
7已經在Points中了，只需把5加進Points裏。
把含點5的除了邊的另一個端頂點已經在Points裏之外的所有邊加入到pq裏。
然後pq輸出並移除最小一個最小值：1-5 0.32。
5，1都已經在Points裏，無視之。
然後pq輸出並移除最小一個最小值：7-2 0.34。
7，2都已經在Points裏，無視之。
然後pq輸出並移除最小一個最小值：4-5 0.35。
5已經在Points中了，只需把4加進Points裏。
把含點4的除了邊的另一個端頂點已經在Points裏之外的所有邊加入到pq裏。
然後pq輸出並移除最小一個最小值：1-2 0.36。
2，1都已經在Points裏，無視之。
然後pq輸出並移除最小一個最小值：7-4 0.37。
7，4都已經在Points裏，無視之。
然後pq輸出並移除最小一個最小值：0-4 0.38。
0，4都已經在Points裏，無視之。
然後pq輸出並移除最小一個最小值：2-6 0.4。
2已經在Points中了，只需把6加進Points裏。
把含點6的除了邊的另一個端頂點已經在Points裏之外的所有邊加入到pq裏。（沒有可加的邊）
此時，mst裏的邊數=無向圖的點總數-1。說明最小生成樹已經形成了，算法結束。
這個算法懶惰在哪呢？我們沿用那個收拾房間的例子。
總結一下通用思路：
1. 首先隨便選一個點加進Points
2. 然後把含此點的除了邊的另一個端頂點已經在Points裏之外的所有邊加入到pq裏。（孩子a聽到要收拾房間，就把東西全部塞到房間裏了）
3. 然後pq輸出並移除最小一個擁有最小值權值的邊，如果此邊的另一端點在Points裏，則無視之；如果不在，則把此點加進Points裏。（a的媽媽要來查房了，馬上收拾。）
4. 重復2,3步直到mst裏的邊數=無向圖的點總數-1。
代碼實現：
普林演算法之貪心實現版本
從例子入手:
我們需要創建幾個數組：
創建一個點的數組Points，把最小生成樹T的點存儲起來;
創建一個邊的數組mst（Minimum spanning tree的簡寫）來把最小生成樹的邊都存儲起來。
創建一個點的數組pq。
首先，隨便找一個點開始：如0.
把0加入到Points裏，把點0能直接去的點加入到pq裏。（為了方便理解，這裏的邊按權值遞增排進數組，實際操作只需從數組中輸出最小值，不必排序）
然後數組輸出並移除最小值：7. 把7對應的邊7-0加入到mst裏，把7加入Points裏。
點7能直接去的、不在Points裏的點（1,2,5,4）加入到pq，但是2,4已經在pq裏了，7-2的權值0.34比pq裏面的0-2的權值大，故無視之；7-4的權值0.34比pq裏面的0-4的權值大，故無視之。
然後數組輸出並移除最小值：1. 把1對應的邊7-1加入到mst裏，把1加入Points裏。
點1能直接去的、不在Points裏的點（3,2,5）加入到pq，但是2,5已經在pq裏了，1-2的權值0.36比pq裏面的0-2的權值大，故無視之；1-5的權值0.32比pq裏面的7-5的權值大，故無視之。
然後數組輸出並移除最小值：2. 把2對應的邊0-2加入到mst裏，把2加入Points裏。
點2能直接去的、不在Points裏的點（3,6）加入到pq，但是3,6已經在pq裏了，3-2的權值0.17比pq裏面的1-3的權值小，故取代之;6-2的權值0.4比pq裏面的0-6的權值小，故取代之。
然後數組輸出並移除最小值：3. 把3對應的邊2-3加入到mst裏，把3加入Points裏。
點3能直接去的、不在Points裏的點（6）加入到pq，但是6已經在pq裏了，3-6的權值0.52比pq裏面的6-2的權值大，故無視之。
然後數組輸出並移除最小值：5. 把5對應的邊7-5加入到mst裏，把5加入Points裏。
點5能直接去的、不在Points裏的點（4）加入到pq，但是4已經在pq裏了，5-4的權值0.35比pq裏面的0-4的權值小，故取代之。
然後數組輸出並移除最小值：4. 把4對應的邊5-4加入到mst裏，把4加入Points裏。
點4能直接去的、不在Points裏的點（6）加入到pq，但是6已經在pq裏了，4-6的權值0.93比pq裏面的6-2的權值大，故無視之。
然後數組輸出並移除最小值：6. 把6對應的邊6-2加入到mst裏，把6加入Points裏。
點6沒有能直接去的、不在Points裏的點。最小生成樹生成完畢，結束算法。
總結一下通用思路：
1. 首先隨便選一個點加進Points。
2. 然後把這個點能直接去的、不在Points裏的點加入到數組pq中，把對應的那些邊記錄下來。如果要加的點已經存在於pq中，則看新加入的對應的邊權值是否比已存在的小，如果是則取代之；否則無視之。
3. 數組輸出並移除擁有最小值的點，把這個點加進Points，這個點對應的邊加進mst裏。
4. 重復2-3步，直到pq沒有元素為止。
這個算法貪心在哪？
與懶惰版對比一下就很顯然了: 第二步，懶惰版是直接把所有邊塞進數組裏，而貪心版是全部逐一比較（a會馬上打掃房間，甚至把走廊也掃了一遍）。
圖表算法—最小生成樹