通過學習《Hearn&Backer.Computer Graphics with OpenGL》 實現畫線演算法

一、直線方程

直線的笛卡爾斜率截距方程：

y=m∗x+b$y=m\ast x+b$

斜率為m，截距為b

在端點(x0,y0)和(xend,yend)之間的線段：

根據兩個端點的x和y值可以得到計算斜率和截距的公式：
m=yend−y0xend−x0$m=\frac{y_{end}-y_0}{x_{end}-x_0}$
b=y0−m∗x0$b=y_0-m\ast x_0$

通過沿直線的x的增量δx,可以計算出對應y的增量δy：

δy=m∗δx$\delta y=m\ast \delta x$

同理，通過沿直線y的增量δy，可以計算出對應x的增量δx：

δx=δym$\delta x=\frac{\delta y}{m}$

二、DDA

DDA(digital differential analyzer)演算法，在一個座標軸上對線段以單位間隔取樣，計算另一座標軸上最靠近線段的對應整數值。

根據斜率m的取值範圍，一共可以分為4種情況：

1. 斜率為正，且小於等於1 (1>=m>0)

   此時以單位x間隔(δx=1)取樣，並計算每一個y值
   

yk+1=yk+m$y_{k+1}=y_k+m$

1. 斜率為正，且大於1 (m>1)

   此時以單位x間隔(δy=1)取樣，並計算每一個x值
   

xk+1=xk+1m$x_{k+1}=x_k+\frac{1}{m}$

1. 斜率為負，且大於等於-1 (-1<=m<0)

   此時以單位x間隔(δx=-1)取樣，並計算每一個y值
   

yk+1=yk−m$y_{k+1}=y_k-m$

1. 斜率為負，且小於-1 (m<-1)

   此時以單位x間隔(δy=-1)取樣，並計算每一個x值
   

xk+1=xk−1m$x_{k+1}=x_k-\frac{1}{m}$

演算法程式碼

int Round (float a)//將float型別數四捨五入轉化成int型別
{
    int b = (a+0.5);
    return b;
}

void lineDDA(int x0, int y0, int xEnd, int yEnd)
{
    int dx,dy,steps,i;
    float xInc,yInc,x=x0,y=y0;

    dx = xEnd - x0;
    dy = yEnd - y0;

    if
 
(fabs(dx) > fabs(dy)){
        steps = fabs(dx);
    }
    else{
        steps = fabs(dy);
    }
    drawPixel(Round(x), Round(y));

    xInc = (float)dx / (float)steps;
    yInc = (float)dy / (float)steps;

    for(i=0;i<steps;i++){
        x += xInc;
        y += yInc;
        drawPixel(Round(x), Round(y));
    }
}

三、Bresenham

Bresenham演算法是一個只用整數增量進行計算，精確並且有效的光柵線生成演算法。

同DDA演算法一樣Bresenham演算法，根據直線的斜率數值，有著不同的情況

斜率為正且小於1

從端點開始，沿線路徑的畫素位置由以單位x間隔的取樣來確定

比如決定現在顯示的座標是(Xk,yk),下一個畫素的座標位置是(Xk + 1,yk)或者(Xk + 1, yk + 1) 根據哪一個點距離直線的距離更近而決定

使用dlower和dupper分別表示垂直畫素偏移：

可以得到計算相關變數的數學表示式：

y=m(xk+1)+b$y=m(x_k+1)+b$

dlower=y−yk=m(xk+1)+b−yk$d_{lower}=y-y_k=m(x_k+1)+b-y_k$

dupper=(yk+1)−y=yk+1−m(xk+1)−b$d_{upper}=(y_k+1)-y=y_k+1-m(x_k+1)-b$

比較兩個垂直畫素偏移，哪個小則下一畫素點在離得近的畫素點

dlower−dupper=2m(xk+1)−2yk+2b−1$d_{lower}-d_{upper}=2m(x_k+1)-2y_k+2b-1$

此時建立一個引數pk，代表第k步時畫素偏移之差的正負值，並將m=δy/δx帶入化簡(δx和δy分別是線段兩個端點的水平和垂直移動距離)：

pk=dlower−dupper=2δy∗xk−2δx∗yk+(2δy+δx(2b−1))$p_k=d_{lower}-d_{upper}=2\delta y\ast x_{}$