第一章　平面上的幾何藝術

人們往往從悖論中獲得思維的樂趣，而幾何學的悖論就是不可能圖形。如今我們已創造出數千種這樣的二維影象，不斷挑戰我們的眼睛和思維。三角形、披薩餅、七巧板也蘊藏著無窮的變化和巧妙的發現。

不可能！你確信嗎？

人們從透視錯覺得來靈感，創造了神祕的“不可能圖形”。人類的視覺系統讓我們覺得這樣的圖形很奇怪。然而這些圖形確實是可行的，併為我們帶來雙重樂趣——先是驚奇，然後理解。

亞歷山大·馬賽，1829 年生於法國坎佩爾。他在 1872 年發明了四眼鈕釦的系衣服方法。相比其前身兩眼鈕釦，這個極其簡單的物件具備不會因旋轉而滑動的優點。四眼鈕釦曾讓其天才發明者變得富有，如今仍以數千億的數量出現在一半以上的服裝上。你也一定擁有幾件配有四眼鈕釦的衣服。然而，四眼鈕釦也許應當早 1000 年就出現，甚至在古代就該問世。想象一下頗為有趣：偉大的亞里士多德或許忽略了這枚鈕釦的存在，而他的生活質量本可以因此改善。

自行車、四色定理、整數和一條直線上的點之間雙射的不可能性、康威生命遊戲、便利貼、不可能圖形，都是近來一些頗為簡單的創意。很難解釋它們為何這麼晚才閃現在人類的腦海中。這些發現讓人不禁自問，我們今天是不是也對身旁的一些想法視而不見——而我們的後代也許會對我們的盲目難以理解。

羅特斯維爾德，別無他人！

不可能圖形及其無窮的變化帶我們從心理學邁入奇幻藝術與數學的世界，最終來到計算機圖形學領域。最近的一些研究成果既展示了人們對不可能圖形更深入的理解，也暴露出我們思維的欠缺。

仔細找找，我們會在古代繪畫和版畫中發現不可能物體的蛛絲馬跡（參見“不可能圖形的先驅”）。然而，我們並不確定作者是否刻意留下這樣的蹤跡，還是僅僅出於對透視法則的無知、粗心或者錯用。在威廉·賀加斯的版畫或馬塞爾·杜尚的不可能床中，圖畫是刻意為之，但離純粹的構思還相去甚遠，並且沒有一個早期不可能圖畫脫離了現實世界。畫中錯亂的現實世界，似乎是製造錯覺不可或缺的源泉。

1　不可能圖形的先驅。法王亨利二世收藏的一本早於公元 1025 年的《聖經》選讀中有一幅聖母像 (a)，畫像中裝飾柱的位置不合常理。我們可以認為這個錯誤不是有意而為，而是源於對透視的理解不足。在勃魯蓋爾 1568 年的畫作《絞刑架下的舞蹈》(b) 中央有一具幾何形狀很奇怪的懸架——到底是藝術家有意在作品中安放這個奇怪的物體，還是在懸架透視效果上出了差錯呢？威廉·賀加斯於 1754 年創作的版畫 (c) 就是存心弄錯的透視戲法。點菸斗的人在給他遞火人的房子後面很遠的山上。同樣，羊群裡最遠的那頭卻畫得最大！樹也一樣。馬塞爾·杜尚在 1917 年根據一幅廣告畫畫了一張不合常理的床 (d)。

瑞典人奧斯卡·羅特斯維爾德（1915—2002）是不可能圖形無可爭議的發明人。1934 年，年輕的奧斯卡在拉丁文課上百無聊賴。不知不覺間，他開始畫出了像圖 A 中那樣擺放、位置不合常理的 9 個立方體。9 個立方體連起來，就有了圖 B 中著名的“不可能三角形”。不可能圖形就是這樣誕生的。當他意識到自己畫了什麼後，奧斯卡·羅特斯維爾德將畢生都投入到研究透視悖論的問題中。

20 年之後，數學家羅傑·潘洛斯和他的父親里昂內·潘洛斯重新發明的不可能三角形出現在《英國心理學期刊》（British Journal of Psychology）上的一篇科學文章中。今天，它被“不公正地”稱為潘洛斯三角形，並有數不清的變化形式。

奧斯卡·羅特斯維爾德發明並且畫了數百個不可能圖形，為此，他的祖國瑞典在 1982 發行了一套印著其數百幅作品的郵票（見上圖）以示紀念。莫里茨·科內利斯·埃舍爾用美妙的版畫為這些令人困擾的幾何物體帶來巨大聲譽，並首次將其置於複雜的圖形創作中，彰顯其魔幻般的美。

如今，其他藝術家繼續著不可能圖形和透視錯覺的遊戲，創造了引人思考的作品，箇中玄妙力量可謂妙趣橫生，令人嘖嘖稱奇。其中最巧妙的藝術家包括我們認為堪稱第一的桑德羅·德爾普雷特，以及岡薩爾維斯、尤斯·德梅、布拉多、莫萊蒂、恩斯特、福田繁雄、哈梅克斯、謝帕德、奧洛斯。

自 1934 年以來，悖論圖形愛好者發明了各種令人難以置信的不可能物體，除此以外，數百篇針對不可能物體的文章也探討了眾多問題。這些讓人稱歎的小小圖畫引出了數不清的謎題，相關最新研究改變著人類對空間認知的理解，這至今仍是個挑戰。

不可能圖形的定義

乍一看，一幅不可能圖形所展現的好像是人們習以為常的三維物體。但仔細端詳，便能看出其中的不可能性：任何對整幅圖形的邏輯解釋似乎都無法成立。不可能圖形為我們的視覺系統設下了陷阱。

陷阱通常是這樣的：圖形的每一部分立即被我們的大腦理解為一個三維物體，只有從一部分看到另一部分，試圖從整體協調不同部分時，圖形中自相矛盾的地方才會顯現。不同的圖形有不同的矛盾之處：

• 兩個遠近不同的平面，本不該相交卻相交了；

• 物體中的某一個平面，從不同角度觀察，可以被認為是在上面或者在下面；

• 圖畫中的某一個區域，結合圖畫中不同部分，可以看成是空的或者滿的；

• 兩個平面相交的角，可以是“凹陷”或者“凸起”等。

同樣令人驚訝的是，一切所謂的“不可能”圖形都是可能的。為了證明這一點，我們提出一般性定理（參見“如何讓它們變得可能？”），或者做出一些三維物體並對其拍照，以產生想要的影象。“一些不可能圖形”中就有一系列例子。觀察者認為來自圖形本身的矛盾，其實源自思維所做出的簡單假設，而這些假設又將思維帶進了理解上的死衚衕。

2. 如何讓它們變得可能？

“可不可以讓不合邏輯的圖形變得可能？”有一個簡單的答案：用鐵絲做出結構，每條線段用一根鐵絲！也有更好的方法，下面的定理指出對於很多輪廓圖畫（包括不可能圖形），我們可以找出與之對應的多面體來呈現其影象。

定理：對任何由直線段組成並可分割成多邊形集合的圖形F，存在一系列多面體P1,…, Pn和方向D，使得多面體P1,…, Pn沿平行於D方向在與D垂直的平面上的投影為圖形F。

換句話說，從無窮遠的地方沿著D方向觀察P1,…, Pn，可以看到圖形F。該定理對潘洛斯三角形和大部分相關物體都適用。它也可以推廣到包含曲線的圖，或用來研究其他型別的透視法。

該定理的證明很簡單。假設圖形 F(a) 可以分解成互不重合（某些線段在分解時可重複出現兩次）的多邊形 A1,…, An 的拼接(b)。對分解的每一個多邊形 Ai 生成一個多面體 Pi (c)，使多面體兩個形狀為 Ai 的面垂直於 D 方向，並通過每一個頂點將兩個面彼此相連（即：Pi 是底面為 Ai 的柱體）。從遠處沿著 D 方向看(d)，多面體 Pi 呈現影象 Ai 。對與 Ai 相對應的不同多面體取不同的高度（使其每一條邊都不會在多面體合併時消失），就得到了要找的多面體集合(e)。但我們注意到，該定理對不可能圖形 3g 和 3j 不適用，因為它們的輪廓圖不能被分解成一系列多邊形。

3. 一些不可能圖形

在大多數情況下，這些假設，例如“物體的限定面一定是平的”或“在圖畫中看起來是直的，在空間中就一定是一條直線”，可以使人快速並正確地理解現實世界的影象。但在觀察不可能圖形時，這些假設會引起大腦對面積和體積相對佈局的想象，反而使圖畫的各部分之間無法匹配。被矇蔽的視覺系統難以擺脫自己設下的區域性理解，種種疑惑就會令視覺系統得出看似矛盾的結論。於是，思維開始原地打轉，徒勞地尋找著對影象的整體理解——合理的闡釋雖然存在，卻永遠找不到。

不可能圖形的實物化

長久以來，悖論圖形的照片層出不窮。一開始，人們只能做出不可能圖形的初級實物化作品，後來才令其愈加複雜。福田繁雄早在 1982 年就做出了埃舍爾版畫《觀景樓》的木頭和塑料版本。

不可能三角形能夠闡述明顯矛盾的機理，並加以解釋，這就需要做出一個實物，使其從合適角度看時呈現不可能圖形。讓我們來觀察不可能三角形的兩個角，遮住第三個（如圖所示）。

人們一定將該圖形理解為三根橫截面為正方形的長條 A、B 和 C 兩兩垂直相交，在空間中構成折線形。當然，如果這樣理解，長條 A 和 C 並不相連。於是，當 A 和 C 的連線突然出現在完整的圖畫上時，視覺系統就判定這是不可能的。似乎三角形的任意兩角總是可以相吻合，但三個角卻不行。

不過，至少有三種方法可以讓我們在空間中構造出一個圖中三角形這樣的物體。

(a) 第一種方法旨在不遵循我們視覺系統中的潛在假設：物體的限定面一定是平的。葛森·埃爾伯的攝影作品（http://www.cs.technion.ac.il/~gershon/EscherForReal/）實際的幾何形體從適當的角度 (A1) 拍攝便可準確地與矛盾的三角形相吻合。當然，我們從另一角度 (B1) 就能看出端倪：真實物體的各個面實際上是複雜表面，而非某一平面的片段。

(b) 第二種方法旨在不遵循潛在的假設：“在圖畫中看起來是直的，在空間中就一定是一條直線 (A2 , B2)。”

(c) 在讓不可能圖形變為可能的方法中，最有效的辦法就是讓實際物體兩個不同的線段重合。我們的視覺系統假設看到的每一條線段都代表著三維物體的唯一線段 S，於是，把物體在實際中並不相連的部分看成是相互連線的 (A3 , B3)。

找出視覺系統所做的潛在假設，是實現人工視覺系統的關鍵。1972 年發明並在 1975 年發表的 Waltz 演算法，如今是人工智慧技術的必修課。該演算法致力於以三維圖景展現僅由直線段組成的輪廓圖畫。

Waltz 演算法成立的條件是：圖畫所表現的物體不超出圖畫界限；相交於同一個點的線不多於三條；圖畫所表現的是多面體，是由平面和直稜邊構成的。

應用在不可能物體上，會出現兩種情況：

• Waltz 演算法找不出任何三維的解釋，在某種程度上，這意味著它找到了一個不可能圖形（在其自己的假設條件下）；

• 或者，該演算法也像人類一樣被矇蔽，並給出一種解釋，但仔細觀察後發現，這種解釋從整體上看並不成立。

例如，Waltz 演算法可以檢測到圖中臺階的不可能性，卻對不可能三角形無能為力。

自 1972 年以來，人們對該演算法不斷加以完善；或者說，讓它不斷複雜化，以提高演算法理解輪廓圖畫的能力，並弱化我們強加給它的視覺假設。然而直到今天，沒有任何計算機程式能夠得出完全令人滿意的結果。三位計算機視覺專家——瓦利、馬丁和鈴木在一篇對該課題 30 年研究成果的總結性文章中寫下如下結論：

“計算機是否能理解輪廓圖畫？在一定程度上，答案是肯定的，但計算機離擁有與人類思維等同的能力還有很大距離。通過不斷改進方法，計算機程式能夠恰當地理解越來越多的情況。但是，人類分析輪廓圖形的能力因素仍未被整合到程式中，原因很簡單，這些因素尚未被理解和發現。”

我們注意到，某些視覺失認症可導致患者無法辨別不可能圖形。這些圖形對他們來說並無矛盾之處。不是因為患者能找到複雜的理解方法，而是他們的視覺系統失去了察覺各部分之間不一致性的能力。可以說，我們的計算機已達到了這些視覺失認者的程度，但尚未達到健全人的水平。

一些數學方法試圖描述這些矛盾圖形的特徵：羅傑·潘洛斯提出應用“上同調”的概念，而柯琳·瑟夫則提出用“辮子理論”的概念。這些方法似乎都不如 Waltz 演算法及其變體強大。Waltz 演算法及其變體是基於對一幅圖畫中 2 個或 3 個線段及其延伸線之間各種可能的連線型別的列舉。

設計三維陷阱

我們在試圖實現等同於人類三維分析能力的演算法過程中，遇到了不少困難，這源於大腦一項微妙的技巧：善於採用假設（因為這些假設通常帶來正確結果），並在必要時禁用。面對所謂的不可能圖形——正如我們剛說過，從來沒有完全不可能的情況，計算機正是因為不具備這樣的假設技巧（尚未被發現）而遇到了困難！一幅簡單的影象也能難住計算機，因為可能存在好幾種正確的理解。像我們視覺系統那樣僅僅採取最有可能的一種理解，恰恰是一件極其難處理的任務。

4　“你所看到的一切並非一定是現實。”版畫作者桑德羅·德爾普雷特說。兩列火車穿過扭曲的圖畫，卻又是圖的一部分，它們會相撞嗎？

如果設計一個三維物體，使其從特定角度看呈二維影象，並且該物體有可能屬於不可能圖形。這裡，擁有嚴苛邏輯的計算機能派上大用場。

吉列爾莫·薩夫朗斯基、丹·迪莫爾曼和克雷格·葛慈曼在 1999 年提出了一般理論，用以設計表面看來是不可能圖形的三維物體。在計算機程式的輔助下，該理論已被系統地應用在一系列著名不可能圖形的創作上，並複製出莫里茨·埃舍爾、桑德羅·德爾普雷特、奧洛斯和尤斯·德梅等人複雜作品的三維模型。

5　桑德羅·德爾普雷特的象棋版畫（上圖）是“方向既朝上又朝下”棋盤的不可能圖形。葛森·埃爾伯卻通過拍照證明了它的可能性（左圖）。

所有物體都有一個特點：只有從唯一一個特殊角度，並用一隻眼睛觀看時，它們才會造成自相矛盾的效果。於是，就產生兩個問題：是否可以設計對雙目視覺有效的視覺陷阱，即通過一對立體影象能否讓矛盾物體產生立體感（例如不可能三角形）？是否可以設計能夠旋轉，並繼續產生矛盾影象的視覺陷阱？這兩個問題的答案都是肯定的。

一方面，唐納德·希瑪尼可早在 1998 年就成功製出對應不可能三角形的不同立體視覺影象。人們觀察這幅影象時，會感覺看到了具有立體感的不可能影象。另一方面，契·柯和彼得·克韋希也成功針對一些具有對稱中心的矛盾物體創作了圖形動畫。物體自身可以旋轉（假設物體是多面體，且每一刻都保持其矛盾性）。但是，物體只能被連續形變。我們可以在http://www.csse.uwa.edu.au/~pk/Impossible/impossible.html 欣賞這樣的動畫。

矛盾，是刺激數學邏輯推理的動力。同樣，圖形矛盾除了周身縈繞的神祕色彩及其帶給人們的視覺樂趣之外，對於只能用雙眼視覺系統看到兩幅二維影象，並希望以此來探求和認知三維世界的人來說，在很長的時間內，這一矛盾都會不斷地煥發思考與研究的熱情。

無窮與不可能

在一幅圖畫中展現無窮的不可能圖形，看起來可能有些無聊。然而，這卻能產生令人困惑的影象，讓眼睛面臨艱鉅的考驗。

如果物質世界裡不存在無窮，既沒有無窮大也沒有無窮小，那麼任何的無窮圖形都將不存在。兩條鐵軌在地平線相交的景象，“科赫雪花”在任意尺度擷取的輪廓，只會是近似描繪現實世界中缺失的數學無窮結構——對無窮的任何圖形描述都會是幻想。

然而，物理學與宇宙學都沒能確定地回答無窮是否實際存在。這個問題或許壓根就不屬於科學領域。若我們假設無窮在物理上是存在的，比如，因為空間本身並不是有界的或者封閉的（與球體表面相反），那麼兩條平行鐵軌在無窮遠相交便是可能發生的情景。

目前，我們仍然對最終的物質現實和物理上的無窮一無所知，因此，數學無窮結構的表現形式算不上荒謬。於是，我們可以放手設計一些抽象物體，它們除了具有無窮的屬性，還因自身結構而成為不可能。

看到這兒，無窮似乎是一個無緣無故的數學遊戲。然而近來，若干研究貢獻使無窮不可能這門藝術變得更加有趣。這才是本章的主題。

最初，創造無窮不可能圖形需要從有限不可能圖形開始，例如潘洛斯三角形（不在同一平面的三條邊看起來相連，構成一個不可能三角形），將其各部分相連，並規律地填滿紙面上的空間，賦予圖畫表面上的一致性。

不可能圖形的無限重複

根據特定的不可能三角形圖形，我們可以演化出多種無窮不可能的排列方式。工程師兼藝術家喬斯·萊思就創作了眾多精美的版本（參見圖 1）。

1　喬斯·萊思的無窮不可能圖形。由重複的不可能圖案沿兩個方向鋪滿平面而得到，這些無窮不可能圖形造成沒有深度的奇特三維空間感。

每一幅影象都讓人困擾，驚人程度遠遠超過了基礎結構中的不可能圖形。請看“喬斯·萊思的無窮不可能圖形”圖 b，我們的第一印象是，這是一張無限的三維網路，好似空心立方體堆砌而成，圖形填滿了三維空間。然而，我們很快發現影象整體存在嚴重的違和感，這下有些令人不舒服。在影象試圖展示的假想空間中，每一個角落都充斥著不一致。隨著對圖畫的觀察，我們意識到，圖畫到處是謬誤和無窮的自相矛盾。

喬斯·萊思將矛盾階梯圖樣在單一的方向上平移，得到另一幅無窮不可能圖形，這幅畫略簡單一些。階梯設計將兩個樣本頭對頭放置，完美相接後，最終得到一個無窮階梯。人們沿著階梯下降的方向卻總是越走越高（參見“要上去，只需向下走”）！我們在喬斯·萊思的網站上可以找到他創作的此類影象：http://www.josleys.com/show_gallery.php?galid=232。

長期以來，我們注意到只有在一定條件下，潘洛斯三角形或瘋狂階梯才是不可能的，即人眼將可見的直線理解為實際的直線，並且用最簡單的方式理解組成部分之間的相對位置。

眾多網際網路網站都提供了奇妙的視覺騙局裝置，試圖實現幾何上的不可能圖形。有時，圖形構造方式需要通過計算機模型加以描述和表達（參見《不可能！你確信嗎？》）。

Escher 方式的永恆運動

人們甚至還錄製了一些相關短片，其中最特別的就是荷蘭藝術家莫里茨·埃舍爾著名版畫《瀑布》的實物展示影片，如同永恆運動的運轉方式，不禁讓人信以為真（參見https://www.youtube.com/watch?v=0v2xnl6LwJE）。

兩位藝術家曾將這些荒謬的幾何遊戲應用在大型雕塑上——他們竟然能賣得出去，還成功地安放在公共場所。其中，離荷蘭馬斯特裡赫特不遠處的比利時村莊奧否汶矗立著一座比利時藝術家馬修·哈梅克斯的雕塑作品，就採用了扭轉的方法：潘洛斯三角形的三邊不再是直的，但透視法造成了幻覺，使人眼看到恰恰相反的景象。

另一個三角形大型創作位於澳大利亞珀斯市，是布萊恩·麥克凱和阿馬德·阿巴斯在 1999 年創作的作品。該作品採用斷裂的方法：在特定角度，人眼將實際不相連的部分視為相連，認定看到了不可能雕塑。

“無窮不可能”是否可能？

我們可能會問：喬斯·萊思提出的無窮圖樣到底是怎麼回事兒。能不能設計一些“真正”會佔據整個空間的三維物體，當從特定視角觀察時，會產生無窮不可能圖形？

我雖然不知道針對每一種三維物體的答案，但是，將某些物體轉化成自相矛盾的無窮幾何圖形，還是很容易的。

以“喬斯·萊思的無窮不可能圖形”圖 c 為例，它是由一組 7 個立方體（即 6 個立方體圍著一箇中心立方體）在無窮次重複後組合而成的。單看這 7 個立方體並沒有什麼矛盾，多個 7 個立方體組的相對擺放位置才使圖形在表面上產生了不合邏輯之處。為了形成這樣的排列，只需讓每一組東南方向和西南方向的兩個立方體在實際上呈 L 形，即將立方體分解成“無窮不可能圖形變成可能”右圖中的樣子。

另一個將無窮不可能圖形變成現實的例子：請看一條由方形環按直線排列而成的無限鏈條（參見“無窮不可能圖形變成可能”右圖）。為了在空間內展示這條無窮的矛盾鏈條，可在每一枚方形環的適當位置截去一段，就會產生方形環後方的邊穿過環到達前面的錯覺。

2　不合常理的圖畫變成現實。站在馬斯特裡赫特附近的奧否汶村廣場上，只要角度適當，就可以看到潘洛斯三角形（左圖）。走動一下改變視角，就可以理解錯覺的原因：我們發現不可能三角形的邊其實是彎曲的（中圖）。澳大利亞藝術家也在珀斯豎起另一座弔詭雕塑。

不可能的分形圖

一個圖形若能變為無窮，可能是因為它（有潛力）憑藉自身的重複性結構而無限延伸，說得專業一點，因其在一個或兩個方向上具有平移不變性。兩千多年裡，幾何學已使我們習慣了這種無窮大。但除此之外，另一種幾何無窮也已顯現，那就是無窮分形圖。

伯努瓦·曼德勃羅（1924—2010）在 1974 年創造的這個概念泛指任何可被無窮切割或分裂的圖形或物體。這些結構通常具有內部的對稱性——我們可以在其自身內部找到它們的整體形狀，只不過更小一些，就像俄羅斯套娃。說得專業一點，它們具有位似不變性。

其實，分形最早出現在一個多世紀以前，數學家們試圖闡明連續統（即幾何直線）的精細結構。康托爾在 1870 年左右發現了今天所稱的“康托爾三分點集”或“康托爾塵”：取一條線段，去掉中間三分之一，剩下兩條線段，再去掉它們各自中間三分之一，剩下四條線段，以此類推。

人們曾認為拓撲異常是不可能實現的，但皮亞諾曲線（1890）及科赫雪花（1905）卻將拓撲異常視覺化，如：遍歷實心正方形上每一個點的曲線、沒有切線的曲線、能夠限定一個有介面的無窮長度曲線，等等。

3　無窮不可能圖形變成可能。

對“愛思考的眼睛”來說，無窮不可能圖形 c（參見“喬斯·萊恩的無窮不可能圖形”）變得可能。如圖所示，將一組 7 個立方體中的兩個立方體切割，所得到的結構就可以在實際中排列成多個無限長的柱子，這些無限長的柱子又可以並排放置。這樣就正好得到了喬斯·萊思影象的“牆紙”。此外，相互巢狀的環狀無窮不可能圖形也可以通過經典的切割技術變成現實（右圖）。

在經典幾何學裡，我們把物理空間看作實數對的集合（對於平面）或實數三元組的集合（對於空間）。這種構想不但實用，而且能幫助我們理解連續、速度、加速度、連通性等概念。

然而，量子物理學，以及在實踐中無法深入探究無窮小的問題，使人們對基於實數建立的空間模型的有效性產生了懷疑——分形幾何中無限分割的物體有著無限的精細度，因此，它們或許只是理論上的錯覺。我們暫不考慮這個異議，僅承認經典空間模型與實際物理世界的模型相符，而且，分形在物理上也是可能的。

那麼，難道就不存在有界尺寸的無窮不可能物體嗎？無窮不可能結構將不再像喬斯·萊思的影象那樣源自無限延伸的特性（紙張只能勉強呈現部分影象），而是源自其矛盾結構的無限精細度。

倫敦帝國學院的卡梅隆·布朗藉助計算機程式得到的若干影象，為這一問題找到了肯定的答案。在這些生成影象中，他將分形及位似不變性物體的無窮分割與潘洛斯三角形一類圖形的不可能性結合了起來。

以下展示了科赫雪花的構造過程，一個內部完全是空的，另一個具有內部支撐杆。布朗在每一步構造中所用的圖樣都是一幅不可能圖形。此係列中的有限圖形就是不可能影象一步步積累而成的分形圖。

3　不可能圖形的極限。將不可能圖形的圖示和科赫雪花的構造演算法相結合，計算機圖形學專家卡梅隆·布朗獲得（至少乍一看）收斂至科赫雪花的無窮序列 (A)。然而在數學家的歐幾里得空間裡，無需任何技巧即可實現雪花圖形。另一個可能存在極限的不可能圖形序列則以正方形為基礎 (B)。

有趣的是，圖畫的極限不是別的，就是雪花本身（或具有內部輪廓的變體）。一系列不可能影象由此誕生，而且可能擁有極限。隨著無窮不可能的不斷積累，荒誕之處也消失不見，如同在接近極限的過程中被吞噬。

兩頭或三頭叉子，以及“惡魔音叉”都是不可能圖形的代表圖案。卡梅隆·布朗藉此採用“康托爾塵”設計了多個無窮版本（參見“卡梅隆·布朗”中的圖 a）。

康托爾的不可能叉子

這一次，極限圖形每一步構造中的不可能性並沒有被畫出來，但我們卻不難想象。其實，隨著我們遠離實心部分（上面），物體的截面變得越來越鏤空：去掉中間的三分之一，再分別去掉剩下兩部分中間的三分之一，如此重複。然而，物體最下端（下面）卻又被填滿了。由此，我們知道在接近極限的過程中，分形圖可以保持不可能性。

“卡梅隆·布朗”中圖 b 的圖形源於皮亞諾曲線。布朗將創作不可能圖形的經典過程用於構想皮亞諾曲線，又一次繪製出可能存在極限的不可能圖形。

5　要上去，只需向下走。喬斯·萊思的無窮不可能圖形是由埃舍爾的矛盾階梯不斷重複拼接而成。這樣得到的圖形雖是規律排列的上升階梯，其真實方向卻反而下降。其實，路易十四的寵臣富凱的紋章最適合採用無窮階梯圖案：“上升止於何處？”（Quo non ascendet?）富凱自以為皇恩日盛，實則走了下坡路。

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