深入理解計算機系統第二章讀書筆記

    在程式設計入門的時候可能都知道兩個正數相加的結果可能為負數，還有一個更奇怪的現象就是：x < y和 x - y < 0兩個表示式可能會得出不一樣的結果，這些神奇的結果都和計算機整數的底層表示和運算有著密切的關係。

    C 語言中有無符號數與有符號數之分，而在 Java 中只有有符號數，下面的內容還是基於 C 語言進行說明，畢竟更 C 比 Java 更接近底層嘛。

加法運算

無符號加法

    假設我們使用 w 位來表示無符號數，那麼兩個加數取值範圍即為：0 ≤ x, y ＜2^w，理論上它們的和的範圍為：0 ≤ sum ＜ 2^w+1，因為只有 w 位表示無符號數（要把和表示出來就需要 w+1 位），所以超過 z^w

    對於無符號數的溢位，計算機採用的處理方式是丟掉最高位，直觀的結果就是，當發生溢位了，就將採用取模運算（或者說是減去 2^w），舉個例子。

    只用 4 為來表示無符號數，即 w = 4，現在有 x [1001] 和 y [1100] 相加，其結果應為：[10101] ，但是沒有 5 位用來表示，所以丟掉最高位的1，剩下的值為 5 [0101]，也就是 21 mod 16 = 5。

    那麼如何檢測是否發生溢位呢？設求和結果為 s，對於加法有 x + y ≥ x 恆成立，即只要沒有發生溢位，肯定有 s ≥ x。另一方面，如果確實發生溢位了，就有 s = x + y - 2^w

補碼加法

    和前面一樣，對於兩個給定範圍的加數 - 2^w-1 ≤ x, y ≤ 2^w-1 - 1，它們的和的範圍就在 - 2^w ≤ sum ≤ 2^w - 2。要想把整個和的範圍表示出來，依舊需要 w+1 位才行，而現在只有 w 位，因此還是需要採用將溢位部分截斷。

    可以發現，當發生正溢位時，截斷的結果是從和數中減去了 2^w；而當發生負溢位時，截斷結果是把和數加上 2^w。

    那麼對於補碼加法如何檢測溢位結果呢？通過分析可以發現，當且僅當 x ＞ 0, y ＞ 0，但和 s ≤ 0 時為正溢位；當且僅當 x ＜ 0, y ＜ 0，但 s ≥ 0 時發生負溢位。

乘法

無符號乘法

    有了前面的基礎，乘法就變得簡單一些了，對於溢位情況，計算機仍然採用的是求模，比如 0 ≤ x, y ≤ 2^w - 1，它們乘積的範圍為 0 到 2^2w - 2^w+1 + 1 之間，這可能需要 2w 位來表示，溢位部分直接截掉，如下所示。

補碼乘法

    對於補碼，兩個乘數的範圍為：- 2^w-1 ≤ x, y ≤ 2^w-1 + 1，那麼其乘積表示範圍就為 - 2^2w-2 + 2^w-1 到 2^2w-2 之間，補碼乘法和無符號乘法基本是一樣的，只是在無符號基礎上多加了一步轉換，即將無符號數轉換為補碼。

乘以常數

    我們知道，計算機做加減法、位級運算的速度最快（1 個指令週期），而做乘除法很慢（10 個甚至更多指令週期），平時編寫的程式中常常會乘以一個常數，為了使程式執行的更快，編譯器可能會幫我們做一些處理。

    首先我們考慮常數是 2 的冪。x * 2¹ 可以表示為 x << 1，x * 2² 可以表示為 x << 2，依次類推即可。

    對於不是 2 的冪的常數，比如 x * 14 可以表示為：(x<<3) + (x<<2) + (x<<1)，因為 14 = 2³ + 2² + 2¹；聰明的你可能發現 14 還有另一種表示方法，即 14 = 2⁴ - 2¹，這種表示比前一種表示方法又少了運算量，所以 x * 14 還可以表示為：(x<<4) - (x<<1)。

    實際上，這裡有一個通用的解決方案，對於任何一個常數 K，其二進位制可以表示為一組 0 和 1 交替的序列：[(0…0)(1…1)(0…0)(1…1)]，14可以表示為：[(0…0)(111)(0)]，考慮一組從位位置 n 到位位置 m 的連續的 1 （n ≥ m），（對於 14 有 n = 3，m = 1）可以有兩種形式來計算位對乘積的影響。

    這個優化不是一定的，大多數編譯器只在需要少量移位、加減法就足夠的時候才使用這種優化。