R語言泊松Poisson迴歸模型分析案例
這個問題涉及馬蹄蟹研究的資料。研究中的每隻雌性馬蹄蟹都有一隻雄性螃蟹貼在她的巢穴中。這項研究調查了影響雌蟹是否有其他男性居住在她附近的因素。被認為影響這一點的解釋變數包括雌蟹的顏色（C），脊椎狀況（S），體重（Wt）和甲殼寬度（W）。
資料檔案：crab.txt。
我們將首先擬合僅具有一個自變數：寬度（W）的泊松迴歸模型
估計的模型是：$ log（\ hat {\ mu_i}）$ = -3.30476 + 0.16405W ilog(μi^) = - 3.30476 + 0.16405W
估計的β= 0.164的ASE為0.01997，這是小的，並且該斜率在z值為8.216及其低p值的情況下在統計學上是顯著的。
如果我們看一下W對Sa的散點圖（見下文），我們可能會懷疑一些異常值
您可以考慮其他型別的殘差，影響度量（如我們線上性迴歸中看到的）以及殘差圖。
以下是執行R程式碼其他部分的輸出的一部分：
從上面的輸出中，我們可以看到預測計數（“擬合”）和線性預測變數的值，即預期計數的對數值。
我們也可以看到，儘管預測是有意義的，但模型並不適合。考慮到剩餘偏差統計值為567.88和171 df，p值為零，值/ DF = 567.88 / 171 = 3.321遠大於1，因此該模型不適合。缺乏適合可能是由於缺少資料，協變數或過度分散。
更改模型
在上述模型中，我們檢測到一個潛在的過分散問題，因為比例因子，例如殘差偏差的值/ DF遠大於1。
回想一下，過度分散的原因之一是異質性，其中每個協變數組合中的主體仍然差異很大。如果是這樣的話，是否違背了Poisson迴歸模型的泊松模型的假設？
上述R程式的輸出：
在這個模型中，隨機分量在響應具有相同均值和方差的情況下不再具有泊松分佈。根據給定的估計值（例如Pearson X 2 = 3.1822），隨機分量的變化（響應）大約是平均值的三倍。
除了過度分散之外，如何忽略其他解釋變數？我們可以通過新增其他變數來提高擬合度嗎？
我們來比較一下這個輸出和只有“W”作為預測的模型。我們將“虛擬變數”引入到模型中，以表示具有4級的顏色變數，其中4級作為參考級別。
此外，如果您執行anova（model.disp），從下面的輸出中我們可以看到，在考慮寬度後，顏色幾乎沒有統計上顯著的預測因子。
> anova（model.disp）
Df Deviance Resid。Df Resid。Dev
NULL 172 632.79
W 1 64.913 171 567.88
C1 1 3.130 170 564.75
C2 1 5.400 169 559.35
C3 1 0.004 168 559.34
此模型是否適合資料更好，是否適合過度分散？
R程式碼的這部分做以下更改：
將此輸出的部分與上面的輸出相比較，我們將顏色用作分類預測器。我們這樣做只是為了記住同一個變數的不同編碼會給你不同的擬合和估計值。
現在估計的模型是什麼？$ \ log {\ hat {\ mu_i}} $ = -2.520 + 0.1496W - 0.1694C。logμi^ = -2.520 + 0.1496W - 0.1694C。
由於新增協變數沒有幫助，過度分散似乎是由於異質性。我們可以用這些資料做些什麼嗎？
資料分組
我們考慮按寬度分組資料，然後擬合泊松迴歸模型。這裡是按W排序的資料。
資料已分成8個區間，如下面的（分組）資料所示
請注意，“NumCases”是位於特定間隔內的雌性螃蟹的數量，這些雌性螃蟹的寬度由後面限定。“AverWt”是該分組內的平均背寬，“AverSa”是男性衛星總數除以組內的雌蟹總數，“SDSa”和“VarSa”是標準偏差，即“AverSa”的變化。
更改模型
我們還建立了一個變數lcases = log（個案），其中記錄了個案數量的對數。這是輸出。
模型現在比以前更好還是更差？它顯然更適合。例如，剩餘偏差統計值的值/ DF現在是1.0861。
殘差分析也顯示了良好的擬合度。
我們來比較下圖中的觀察值和擬合值（預測值）：
R中的最後兩個陳述用於證明我們可以用速率資料的身份連結來擬合泊松迴歸模型。請注意，該模型不適合分組資料，因為與先前的模型相比，殘差偏差統計的值/ DF約為11.649。
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