Extended Euclid 拓展歐幾里得演算法
阿新 • • 發佈:2019-02-02
擴充套件歐幾里德演算法是用來在已知a, b求解一組x,y,使它們滿足貝祖等式: ax + by = gcd(a, b) = d(解一定存在,根據數論中的相關定理)。擴充套件歐幾里德常用在求解模線性方程及方程組中。
對於兩個不全為0的整數a、b,必存在一組解x,y,
使得ax+by==gcd(a,b)
由定理:ax+by==gcd(a,b),若b==0,則gcd(a,0)==a。
原式變為ax+by==a --> x==1,y==0。
若x,y表示第一次遞迴時的值,x1,y1表示第二次遞迴時的值。
則gcd(a,b)==gcd(b,a%b),有ax+by==b*x1+(a%b)*y1。
b*x1+(a%b)*y1==b*x1+(a-(a/b)*b)*y1==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1),
最終得到ax+by==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)
即上一深度的x等於下一深度的y1,上一深度的y等於下一深度的x1-(a/b)*y1。
對於ax+by==c,x1=x*(c/gcd(a,b)),y1=y*(c/gcd(a,b))
//如果GDC(a,b) = d,則存在x,y,使d = ax + by //extended_euclid(a,b) = ax + by int extended_euclid(int a, int b, int &x, int &y) { int d; if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } d = extended_euclid(b, a%b, y, x); y -= a / b*x; return d; }
拓展歐幾里得的幾個應用
用來在已知a, b求解一組x,y使得ax+by = Gcd(a, b) =d(解一定存在,根據數論中的相關定理)。擴充套件歐幾里德常用在求解模線性方程及方程組中.