1、歐幾里得原理
（1）歐幾里得演算法

    int gcd(int a,int b) 
{ 
    return b==0?a:gcd(b,a%b); 
} 

（2）、拓展歐幾里得：在已知a、b的情況下，求x*a+b*y=gcd(a,b)的一組整數解
1)、推導：
/* 設 a* x1+b* y1=gcd(a, b)， b* x2+(a%b)*y2=gcd(b, a%b);
因為 gcd(a, b)==gcd(b, a%b)
所以 a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2　　
設 r=a%b, r =a-k* b
則 a* x1+b* y1=b* x2+(a-k* b)*y2 　　
a* x1+b* y1=b* x2+(a-(a/b)* b)*y2 　　
a* x1+b* y1=b* x2+a*y2-b*(a/b)*y2　　
a* x1+b* y1=a* y2+b* (x2+(a/b)y2)

2）、程式碼：

    long long ex_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    long long r,y1,x1;
    r=gcd(b,a%b,x1,y1);
    x=y1,y=x1-a/b*y1;
    return r;
}
//當不用判斷a，b是否互質時可寫為：
void ex_gcd(lnog long
 
 a,long long b,long long &x,long long &y) 
{ 
    if(b==0)
    {
      x=1;y=0;
      return;
    } 
    long long x1,y1;
    ex_gcd(b,a%b,x1,y1); 
    x=y1;y=x1-a/b*y1; 
} 

（3）、應用
1）、判斷a* x+b*y=c有無整數解：
設 d=gcd（a，b）；
if（c%d！=0）無解 else 有解

2）、求a* x+b*y=c通解

4）、求乘法逆元
詳見後

2、費馬小定理：若p為質數，且a、p互質，則a^(p-1)≡1（mod p）
應用：求乘法逆元
詳見後

3、乘法逆元：ax≡1（mod n)的最小正整數解稱為a關於模n的乘法逆元。
（1）、存在條件：an-ny=1有解

（2）、求法
1）、拓歐求

    long long inverse(long long a)
{
    long long x,y;
    if(gcd(a,n,x,y)==1) return (x+n)%n;
    return -1;
}

2）、費馬小定理求
設x關於模n的乘法逆元為x0，則（x*x0)≡1（mod n)
又因為x^(t-1)≡1（mod n）
x0=x^(t-2)

（3）、應用：
1)、逆元(a/b)%p==(a*b0)%p
2)、降冪(a^b%p=a^(b%(p-1))%p)