【模線性方程】POJ 2115
阿新 • • 發佈：2019-02-03
原文地址，感謝大神。
題意：轉化成c * x = b - a mod (2 ^ k)，解這個模線性方程的最小正整數解即可
Sample Input
3 3 2 16
3 7 2 16
7 3 2 16
3 4 2 16
0 0 0 0
Sample Output
0
2
32766
FOREVER
解方程：ax == b (mod n);【ax % n == b % n】
設線性模方程的一個解為x0
條件①：有d = gcd(a, n)
條件②：有d = ax1 + ny, 由擴充套件歐幾里得(Egcd)得到x1的值
條件③：b % d == 0 (有解的條件)
對條件③進行解釋：
原方程化為：ax + kn = b (設k為某一整數)
那麼如果a與n的最大公約數為d，那麼ax + kn 必然可以提取一個d的因子，也就是說b必然有d這個因子，所以如果b%d!=0，說明b沒有d這因子，與前面的結論相互矛盾，所以無解
則x0 = x1*(b/d);
證明：
因為：容易求得d = gcd (a, n), 則存在一個x1、y使得d = ax1 + ny①(擴充套件歐幾里得定理，這個都不會的話，說明你數論還沒入門)
方程①2邊同時模n得：d % n == ax1 % n②
又因為：b % d == 0, 即b是d的倍數;
所以(b/d)必為整數;
所以由②得： b % n == d*(b/d) % n == ax1*(b/d) % n == ax % n
所以很容易可以看出x = x1*(b/d)是方程的一個整數解，得證
參考文獻：
#include <iostream> #include <algorithm> #include <string> //#include <map> #include <queue> #include <vector> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> //#include <ctime> #include <ctype.h> using namespace std; #define LL long long #define inf 0x3fffffff LL Egcd (LL a, LL b, LL &x, LL &y) //擴充套件歐幾里得 { if (b == 0) { x = 1, y = 0; return a; } LL d = Egcd (b, a%b, x, y); LL tp = x; x = y; y = tp - a/b*y; return d; } void MLE (LL a, LL b, LL n) //解模線性方程 { LL d, x, y; d = Egcd (a, n, x, y); if (b % d) { puts ("FOREVER"); return ; } LL x0 = x * (b/d); LL t = n / d; if (t < 0) t = -t; //以防萬一，有的題目t有可能是負數 x0 = (x0 % t + t) % t; //防止負數出現，所以先模後加再模，再模是因為如果是正數，+n/d可能會超出n/d //對於無數個解形成的一群餘數：週期個數是d，週期長度是n/d，也就是最小正整數解在n/d裡，這個聽老師說過，但是忘了為什麼，涉及到群的概念…… printf ("%lld\n", x0); } int main() { LL a, b, c, k; while (scanf ("%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &c, &k), (a||b||c||k)) MLE (c, b-a, 1LL<<k); return 0; }